曲率と曲率半径

曲率と曲率半径

 

曲線y=f(x)上の点P(x,y)における接線PTがx軸となす角度をθ、曲線上のPに近い点Qにおける接線PT’がx軸となす角度をθ+Δθ、弧PQの長さをΔsとするとき、

　　

を２点P、Q間の平均曲率といい、

　　

を点Pにおける曲線y=f(x)の曲率、そして、この逆数を曲率半径という。

 

弧PQが点Cを中心とする半径Rの円弧ならば、

Δθ=∠PCQ

となるので、

　　

したがって、

　　

なぜ、（１）の逆数が曲率半径になるのか、これから、わかってもらえるのではないか。

 

さて、

　　

という関係があるので、この両辺をxで微分すると、

　　

一方、

　　

という関係があるので、

　　

曲率半径をrで表すと、

　　

 

これは、前回、

　　

からa、bを消去した微分方程式

　　

から導いた式

　　

と同じものである。

 

（３）の導出の過程で

　　

という式が出てきたので、曲率円の中心(a,b)は

　　

を使って求めることができる。

 

曲線y=x²の場合、

　　

だから、

曲率半径rは、（２）から

　　

曲率円の中心(a,b)は（４）、（５）から

　　

と求められる。

 

問　曲線上の点における曲率、曲率半径、そして、曲率円の中心を求めよ。

 

 

なお、曲率円の中心の座標
　　

は次のように求めることもできる。

 

右の図のような位置関係にあるので、曲率円の中心C(a,b)のx座標とy座標は

　　

三角関数の関係より

　　

ここで、誰にも気づかれないようにコッソリ、プラスだけをとって

　　

とし

　　

曲率半径rは

　　

だから、これらを（６）に代入すると、

　　

を得ることができる。

 

ですが、前回のように、円の微分方程式からこれらの関係式を導いたほうが簡単でしょっ。