第２５回 ランダウの記号と漸近展開 [微分積分]
第２５回 ランダウの記号と漸近展開
§１ 無限小、無限大
aを実数、または、±∞とする。
ならば、x→aでf(x)は無限小であるという。
ならば無限大であるという。
関数f(x)、g(x)が点aにおいて無限小のとき、
であるという。
f(x)と
が同位の無限小であるとき、f(x)はg(x)のα位の無限小といい、αを位数という。
例１
だから、sinxとxは同位の無限小で、1−cosxはx²無限小でxの２位の無限小である。
また
だから1−cosxはxより低位の無限小である。
関数f(x)、g(x)が点aにおいて無限大のとき、
であるという。
問１ x→0のとき、次の無限小を小さい順にならべよ。
【解】
だから、xとsin xは同位の無限小。
これは∞/∞の極限だから、ロピタルの定理より
よって、x²log｜x｜はxより高位の無限小である。
（解答終）
§２ ランダウの記号
x→aのときにf(x)、g(x)の比f(x)/g(x)が有界にとどまるならば、すなわち、ある定数Mがあって、点aの近傍の任意の点x（≠a）について
ならば、このことを
で表す。
特に、
が0でない極限値をもてば、
である。
また、
のとき、
で表す。
このΟやοをランダウのビッグオー、ランダウノスモールオーと呼ぶ。（実は、Οとοはギリシア文字であるオミクロンの大文字、小文字！！）
例２
だから、
である。
例３ のとき、
だから、
である。
というか、これは定義。
例４
だから、
f(x)、g(x)、φ(x)、Ψ(x)は点aの近傍で定義された関数で、x→aのときψ(x)=o(g(x))であり、
であるとする。
このとき、ψ(x)はo(g(x))であるすべての関数を代表していると考えられるので、o(g(x))をあたかも関数のように
と表すことがある。
同様に、
のとき、
と表す。
さらに、f(x)、g(x)、h(x)が点aの近傍で定義された関数で、x→aのときφ(x)=o(g(x))、ψ(x)=o(h(x))であり、
であるとき、
また、
であるとき、
と表す。
§３ ランダウの記号の性質
定理 （ランダウ記号の演算）
m、nを正数とする。x→0のとき、次のことが成り立つ。
【略証】
（略証終）
§４ 漸近展開
定理 （漸近展開）
f(x)は、0を含む区間Iで
級とする。このとき、
［証明］
マクローリン（テーラー）の定理より、関数fは、任意の点x∈Iで、
であるθが存在する。
よって、
ここで、
とおく。
x→0のときθx→0で、fは級だから
よって、
である。
したがって、
（証明終）
以下に代表的な関数の漸近展開を示す。
ここで、
である。
