第２０回 関数の凸凹 [微分積分]
第２０回 関数の凸凹
区間Iで定義された関数f(x)が、I内の任意の点x₁、x₂（x₁<x₂）に対して、x₁<x<x₂ ならば
であるとき、f(x)を凸関数という。また、このとき、f(x)は下に凸という。
であるとき、f(x)を狭義の凸関数という。
また、 –f(x)が凸関数であるとき、f(x)を凹関数という。
x₁<x<x₂ とすると、（１）式は
と変形され、さらに、
とおくと
となる。
したがって、f(x)が凸関数のとき、曲線y=f(x)上の任意の２点(x₁,f(x₁)と（x₂,f(x₂)）を結ぶ線分は、曲線y=f(x)の下側にはくることがない。
また、f(x)が凸関数のとき、
が成立し、
直線AC勾配≦直線ABの勾配≦直線CBの勾配
である。
aを区間Iの内部の点とする。関数f(x)が点aの左近傍で狭義凸（狭義凹）、点aの右近傍で狭義凹（狭義凸）、つまり、点aの前後で凹凸が入れ替わるとき、曲線y=f(x)上の点(a,f(a))を曲線の変曲点という。
例１ f(x)=x²は（狭義）凸関数である。
a<c<bとすると、
例２ 点(0,0)は曲線y=x³の変曲点である。
定理１ （凸関数と２次導関数）
関数f(x)が区間Iで連続、区間Iの内部で２回微分可能とする。f(x)がIで凸関数である必要十分な条件は、Iの内部でf''(x)≧0であることである。
［証明］
区間Iの内部の任意の点をa、b（a<b）、a<x<bとする。
f(x)はIの凸関数だから
f(x)は微分可能だから
f'(x)はIの内部で（広義）単調増加であり、よって、f''(x)≧0である。
逆に、
Iの内部でf''(x)≧0とすると、f'(x)はIで（広義）単調増加。区間Iの任意の２点a,bをとり、a<x<bとすると、平均値の定理より
であるξとηが存在する。
ξ<ηだから、
よって、f(x)はIで凸関数である。
（証明終）
定理２ 関数f(x)が区間Iで連続、区間Iの内部で２回微分可能とする。Iの内部でf''(x)>0ならば、狭義凸関数である。
［証明］
Iの内部でf''(x)>0とすると、f'(x)はIで（狭義）単調増加。
区間Iの任意の２点a,bをとり、a<x<bとすると、平均値の定理より
であるξとηが存在する。
ξ<ηだから、
よって、f(x)はIで狭義凸関数である。
（証明終）
次の定理は、上の定理と変曲点の定義より明らかだろう。
定理３ 関数f(x)が区間Iで連続、Iの内部で２回微分可能とする。aがIの内部の点で点(a,f(a))が変曲点であるならば、f''(a)=0である。
注意 y=f(x)=x⁴のとき、f'(x)'=4x³、f''(x)=12x²だからf''(0)=0になるが、y=x⁴は凸関数。したがって、「f''(a)=0ならば(a,f(a))」は一般に成立しない。
問題１ 関数f(x)は、開区間Iで２回微分可能、かつ、f''(x)>0とする。曲線y=f(x)は、Iで常に接線の上側にあることを証明せよ。
［解］
aを開区間Iの任意の点とすると、(a,f(a))における接線の方程式は
である。
平均値の定理より、
であるcがaとxの間に存在する。
よって、
Iでf''>0だからf'は単調増加。
したがって、x<aのとき、
x>aのとき
x=aのときF(a)=0。
よって、曲線y=f(x)は接線の上側にある。
（解答終）
問題２ 関数fを区間Iで定義された二回微分可能な凸関数とする。f'(x)>0（x∈I）ならば逆関数f⁻¹は上に凸（凹）であり、f'(x)<0ならば下に凸であることを証明せよ。
［解］
x=f⁻¹(y)とすると、y=f(x)。
（解答終）
関数fが区間Iで下に凸のとき、f''(x)=y''≧0だから、関数fは、f'(x)=y'>0ならば
となり上に凸（凹）、f'(x)=y'<0ならば
となり下に凸である。
（解答終）
問題３ f(x)=ax²+bx+c（a>0）について、次の不等式が成り立つことを証明せよ。
［解］
f'(x)=2ax+b、f''(x)=2a>0 （∵a>0） だから、f(x)は狭義凸関数。
A(x₁,f(x₁))、B(x₂,f(x₂))、C(x₃,f(x₃))とすると、f(x)は狭義凸関数なので、線分AB、BC、ACは曲線y=f(x)のグラフの上側にある。
とすると、これは△ABCの重心で、△ABCの内部にある（図を参照）。
したがって、
（解答終）
［別解］
f(x)は狭義凸関数。
よって、
したがって
（解答終了）
f(x)がIで狭義凸関数であり、a、b（a≠b）がIの任意の点のとき、
が成立する。
とおくと、
となる。
は、m=n=1、a=x₁、b=x₂とし（１）に代入すれば出てくる。
とおき（１）に代入すれば、
が出てくる。
f(x)がIで狭義凸関数ならば、
が成立する。
証明は、上の方法にならって数学的帰納法を用いればよい。
一般に、
f(x)がIで凸関数ならば
f(x)がIで凹関数ならば
問題４ 
のとき、次の関係が成り立つことを示せ。
【ヒント】
（１） f(x)=√xとおくとf''(x)<0だから、f(x)=√xは凹関数
（２） 両辺の対数を取れ。
よって、証明すべきことは
log xは凹関数だから・・・。
