第１５回 高次導関数

第１５回　高次導関数

 

区間Iで定義された関数f(x)がIで微分可能、導関数f'(x)もIで微分可能なとき、fは２回微分可能であるという。このときf'(x)の導関数をfの２次導関数といい、y=f(x)の２次導関数を

　　

などであらわす。

同様にf(x)のn–1次導関数がIで微分可能であるとき、fはn回微分可能であるという。このとき、の導関数をn次導関数といい、

　　

などであらわす。

また、

　　

と定義する。

 

区間Iで定義された関数f(x)がIでn回微分可能で、さらにがIで連続であるとき、fはIで級であるといい、f(x)がIで何回でも微分可能なときfはIで級という。

 

例１

f(x)=x³（x∈R）とすると、

　　

だから、f(x)はR上で級である。

一般に、とすると、

　　

である。

 

例２

　　

とすると、

　　

よって、f(x)は１回微分可能だがf'(x)はx=0で不連続だからC¹級ではない。

 

 

問１　次のことを示せ。

（１）　x=x(t)、y=y(t)ならば

　　

（２）　x=f⁻¹(y)ならば

　　

［略解］

（略解終）

 

問２　次の第n次導関数を求めよ。

［略解］

 

（略解終）

 

 

問２の（１）の結果を用いると、

　　

だから、

　　

である。

 

問３　f(x)がxのn次の整式であるとき、次の等式が成り立つことを示せ。

　　

【解】

n次の整式を

　　

とすると、

　　

①をxで微分すると、

　　

②をxで微分すると、

　　

③をxで微分すると、

　　

以下、同様に

　　

したがって、

　　

よって、

　　

（解答終）

 

問３から、n次の多項式f(x)がで割り切れるための必要十分条件が、

　　

であること、また、で割った余りが

　　

であることがわかる。

 

定理

関数f(x)、g(x)がｎ回微分可能ならば、αf(x)+βg(x)（α、βは実数の定数）、f(x)g(x)もn回微分であって、

［証明］

（１）　自明だから略。

（２）　n=1のとき

　　

だから成立。

n=lのとき成立すると仮定する。

すなわち、

　　

n=l+1のとき

　　

よって、数学的帰納法より証明された。

（証明終）