引力ポテンシャルと何か

［万有引力ポテンシャル］

 

　最初に(x，y，z)系の原点に、質量ｍ(kg)の質点が一個だけある時を考えます。位置(x，y，z)に1(kg)の質点があれば、万有引力の法則よりそれには、

 

　　

(1)

 

 

の引力が働きます。Ｇは万有引力定数で、N･m²/kg²の単位を持ちます。fの単位は、N･m²/kg²×kg/m²×1(kg)でN（ニュートン）です。次に(1)のrの表式に注意して直接計算すれば、次がわかります。

　　

(2)

 

　(2)を(1)のfの表式に使うと、

 

　　

(3)

 

 

 

になります。(3)最右辺のGｍ/rの単位は、N･m²/kg²×kg/m×1(kg)＝N･m＝J（ジュール）なので、これを万有引力ポテンシャルと呼びます。要するに万有引力のx，y，z成分は、Ｇｍ/rをx，y，zで偏微分することにより得られます。さらに(3)の各成分の2階微分を計算すると、(1)より、

 

　　

 

(4)

 

 

なので、

　　

(5)

 

を得ます。ラプラシアンを

　　

(6)

 

で定義すると、(5)から万有引力ポテンシャルは、ラプラス方程式、

　　

(7)

 

を満たすとわかります。ところで(7)の単位を調べると、(5)からｍ/r³でなければならないので（×1(kg)はＧ側に含ませる）、単位はkg/m³となり質量密度です。じつは(7)と同じ形の数学モデルを満たす現象があります。静電場です。静電場ポテンシャル（電圧）は、

 

　　

(8)

 

を満たします。ここでεは誘電率、ρは電荷密度です。(7)と(8)でＧとεの現れ方が違うのは、万有引力には斥力が存在しない事と、物理定数である重力定数と誘電率の定義の（決め方の）違いという事で、ご了承ください(^^;)。

　原点に一つだけ電荷Ｑがあるとすると(8)は、ρが電荷密度なので、(x，y，z)≠(0，0，0)でεΔφ＝0、(x，y，z)＝(0，0，0)でεΔφ＝Ｑδと書けます。δは原点に特異点を持つ、ディラックのデルタ関数です。

　(7)はもちろん(x，y，z)≠(0，0，0)で（r≠0で）成り立つ関係です。そうすると(8)のρを質量密度に読み替えて、

 

　　

(9)

 

という事になります。(x，y，z)系の原点に、質量ｍ(kg)の質点が一個だけある時の、(9)の解を計算します。

　原点に一個だけの質点なので、その解は等方的でなければなりません。φが等方的な場合のラプラシアンは、

 

　　

(10)

 

です。r＝0ではどうなってるのかようわからんので、とりあえずr≠0の時を考えます。(9)のδは原点に特異点を持つデルタ関数なので、r≠0ではδ＝0です。 従って、

 

　　

(11)

 

　(11)は線形微分方程式です。解の公式を適用し、

　　

　　

∴

　　

 

を得ます。a，bは積分定数ですが、φ(r)はポテンシャルだったので、b＝0でOKです。

 

　　

(12)

 

　(12)はr≠0の時の解なので、aを決めてr＝0へ接続する必要があります。その条件は、(12)のr→0での発散が、(9)右辺のデルタ関数の発散になる事。すなわちデルタ関数の特異点（今は原点r＝0）を内点として含む任意の領域Ｒでの積分が1。

　　

(13)

 

　(13)を適用するために、原点を内点として含む任意の領域Ｒで(9)を積分します。この時、原点はＲの内点なので、原点を中心とする十分小さい球Ｒ₀をＲは含みます。ＲとＲ₀の間ではr≠0ですから、そこでの(9)右辺の積分はδ＝0から0です。(9)左辺に(12)を代入すればΔφ(r)＝Δ(－a/r)＝0なのは、(11)から明らか。よって積分はＲ₀上で行えば十分です。

　(9)左辺を(6)で表し、ガウスの発散定理を使えば、

 

　　

 

 

　ＳはＲ₀の境界，ｎはＳの外法線方向単位ベクトル，・は内積，dsは面素。また∇はgradで、Ｒ₀の半径をγとし、∇φ＝a(x/γ，y/γ，z/γ)/γ²になるのは(3)からです。そしてＲ₀は半径γの球なのでｎ＝(x/γ，y/γ，z/γ)でもあります。

　　

 

 　dsは半径γの球の境界の面素だったので、∫dsはその表面積を表し、その値は4πγ²。

 

 　　

 

 

　(9)右辺のＲ₀での積分は明らかにｍ。従って

 　　

　∴

　　

 

　　　　　(14)

 

が得られます。

　(14)が(12)のr＝0への接続になるのは、(14)の計算過程でＲ₀の半径γを任意に小さくできるからです。つまりγ→0でも常に(14)が成立するので、(13)を満たす以上、これが(9)の解だという訳です。

 

　ここで重要なのは、

　　1) 一質点の万有引力ポテンシャルはポアソン方程式(9)を満たす．

　　2) その解は(14)の他にない．

　　3) ラプラス方程式(7)の等方的な解は(12)の形のみである．

の3点です。以上を念頭に、第二段階へ移行します。

 

　第二段階は、位置(x，y，z)にある1(kg)の質点が、他の2質点から受ける万有引力を考えます。2質点の位置を(α₁，β₁，γ₁)と(α₂，β₂，γ₂)とし、質量をｍ₁とｍ₂とします。それぞれの質点の万有引力ポテンシャルφ₁とφ₂には1)，2)が成り立つはずなので、(14)を平行移動して考え、

　　　　

(15)

 

 

で良いはずです。φ₁とφ₂を(x，y，z)で偏微分すればそれぞれから受ける万有引力が得られ、全体の作用力fはその合力ですから、

　　

(16)

 

です。ところが、φ₁とφ₂が(9)を満たすならラプラシアン(6)は線形なので、φ＝φ₁＋φ₂は、

　　

(17)

 

を満たします。δ₁とδ₂は、(α₁，β₁，γ₁)と(α₂，β₂，γ₂)に特異点を持つデルタ関数ですが、(17)の解は1)，2)より、φ＝φ₁＋φ₂以外にはありません。そして特異点以外で(17)を考えれば、このφも(7)を満たします。

　質点は何個あっても同じですよね？(^^)。質点ｍ₁，ｍ₂，・・・による万有引力ポテンシャルは、

 　　

(18)

 

を満たし、その解は、

　　

(19)

 

だけであり、特異点を除けばφは(7)を満たします。

　第三段階です（図-1）。領域Ｒに拡がる質量密度ρの物体を分割し、分割片が質点とみなせるくらい細かく分けたとします。

　質点の番号をj、位置を(α_j，β_j，γ_j)、体積をdα_jdβ_jdγ_jとすれば、その質量はｍ_j＝ρdα_jdβ_jdγ_jです。質点j全体がつくるポテンシャルφは(18)より、

　　

(20)

 

を満たし、(15)より、

　　

 

(21)

 

とすれば、

　　

(22)

 

で計算できる事になります。また領域Ｒの外で(20)を考えれば、今度も(7)になります。

　第四段階です（図-2）。微小厚さdＲ，一様密度ρの半径Ｒの球殻がつくる万有引力を考えます。このポテンシャルも(20)を満たすはずですが、条件は等方的です。よって球殻の外側で考えたラプラス方程式(7)の解は、3)より(12)の形しかありません。(12)の積分定数aを定めます。

　さっきやったように球殻の外側に任意の領域Ｒ₁をとり、(20)の右辺を積分すれば図-1より、

 　　

 

 

(23)

になるはずです。4πＲ²は球殻の面積で要するに(23)の結果は球殻の質量ですが、ここで領域Ｒ₁を半径Ｒの球殻にまで縮小できるのは明らかです。よって球殻の外側のポテンシャルφ⁽¹⁾は、

　　

(24)

 

でなければなりません。一方球殻の内部でも条件は等方的で(7)を満たすので、やはり解は(12)の形のみですが、球殻の内部でどのように領域Ｒ₂を選んでも質量分布はないので、(20)右辺の積分は0になります。ここで領域Ｒ₂を半径Ｒの球殻にまで拡大できるのは明らかです。よって球殻の内側のポテンシャルφ⁽²⁾は、

　　

(25)

 

とできます。

　(24)，(25)より、球殻の質量は球殻の外側の万有引力にしか寄与しないとわかります。そこで半径Ｒから中心に向かって厚さdＲの球殻を詰めていけば、それが寄与するのはその外側の万有引力のみなので、

　　

(26)

 

となります。ただしＶ＝4/3×πＲ³は半径Ｒの球の体積なのでＭ＝ρＶは球の質量です。従って球体の外側では、その全質量が中心に集中したものとして万有引力を計算して良いとわかります。副産物として(26)と(22)をつなげれば、

　　

(27)

 

が得られます。ここでＱは原点を中心とする半径Ｒの球体，rは(21)のr_jで、r_Pは原点から(x，y，z)までの距離です。

　球体の内側r≦Ｒでは、球殻の引力はその内部に及ばない事を考慮し、半径rの内側の質量を考えると、

　　

(28)

 

になります。よって球の中心r＝0での作用力は0です。

 

　どうでしょうネコ先生？。考え方はあってると思うんですが(^^;)。