お前らに質問（６月１２日 数列の収束）

お前らに質問（６月１２日　数列の収束）

 

お前らにつかぬことをお尋ねしますが、次の問題の解答は正しいですか。

 

問題　一般項が次のように与えられる数列がある。

　　

この数列が1に収束することを示せ。

【解答（？）】

k=1,2,3,・・・とすると、

　　

である。

　　

したがって、nが偶数であっても、奇数であっても、１に収束する。

よって、

　　

（解答終）

 

この解答は正しいかい。

正しければ、その理由を、
間違っていると思ったら、過ちを指摘し、正しい解答を

この記事のコメント欄に書いて、ネムネコのもとに送信するにゃ。

 

大サービスをして、『だんご大家族』も♪

さらにさらに、

曲率、曲率半径、曲率円の話を少し・・・

曲率、曲率半径、曲率円の話を少し・・・

 

y軸上の点(0,a)を中心にする半径rの円がある。すると、この円の方程式は次のようになる。

　　

①の両辺をxで微分すると、

　　

これを①に代入し、bを消去すると、

　　

 

放物線y=x²が(x,x²)で円①と接するとすると、(x,x²）における円①の接線の傾きは

　　

と等しくなければならない。

これを③式に代入すると

　　

円の中心のy座標aは②式から

　　

放物線上の点(1,1)で接するとすると、

　　

④式にy=1を代入すると、

　　

したがって、y軸上に中心があって放物線y=x²に接する円の方程式は

　　

である。

 

嘘じゃないにゃ。

円⑤は、点(1,1)で本当にy=x²と接しているにゃ。

証拠の図だにゃ。

 

 

ただ、この問題の場合、

点P(1,1)におけるy=x²の接線の方程式は

　　　　

求める円の中心をO'とすると、④はy=x²と円O'の共通接線なので、O'Pと接線④は直交する（円と接線の関係）。したがって、点(1,1)における法線の方程式は

　　

円の中心はy軸上にあると仮定しているので、x=0を⑦に代入して得られるyの値3/2は円O'の中心のO'のy座標になる。

よって、O'の座標は(0,3/2)。

点O’(0,3/2)と点P(1,1)の距離rは

　　

ゆえに、y=x²と点(1,1)で接する円の方程式は

　　

である、

と解いたほうが楽かもしれない。

 

ネムネコは疑い深いので、y=x²に(2,4)で接する場合も計算してみるケロ。

③式にx=2を代入すると

　　

④式にy=4を代入すると

　　

したがって、

　　

 

さらに念には念を入れて、

点(2,4)におけるy=x²の接線は

　　

したがって、法線の方程式は

　　

これにx=0を代入すると、

　　

よって、y=x²に(2,4)で接する円の中心O'の座標は(0,9/2)。

したがって、半径rは

　　

ゆえに、円の方程式は

　　

となり一致する。

 

 

問題１　(x−a)²+(y−b)²=r²であるとき、

　　

が成り立つことを示せ。

【解】

　　

の両辺をxで微分すると、

　　

②をさらにxで微分すると、

　　

②と③から

　　

これを①に代入すると

　　

（解答終）

 

（１）を使えば、y=f(x)に接する円（この円を曲率円という）の（曲率）半径rを

　　

と求めることができる。

普通、この曲率半径rの逆数（曲率κ)をとった形、すなわち、

　　

で表すケロ。

 

y=x²のとき

　　

となるので、

　　

x=1のとき

　　

x=1のとき、

　　

だから、④式にこの値とx=1を代入すると、

　　

⑤式に、y=1を代入すると

　　

よって、曲率円の方程式は

　　

となるにゃ。

 

念のために言って置くけれど、

点P(1,1）におけるy=x²の法線x+2y=3上の点を中心C（Pは除く）とし、CPを半径とする円ならば、すべてy=x²に点(1,1)で接するケロよ。無数にあるにゃ。

そして、接線はy=2x−1はCを無限の彼方にとったときに得られる、つまり、半径CP→∞の円（の極限）に違いないケロ。

ならば、直線の曲率は

　　

のはずだ！！

 

 

 

問題２

曲線y=x²上の相異なる２点P、Qでそれぞれ点P、Qでの接線に垂直に引いた２直線の交点Rとする。点Qが点Pに限りなく近づくとき、点Rの近づく点Cの座標を求めよ。ただし、点Pのx座標pは0でないとする。

【解】

点P(p,p²)、点Q(q,q²)とすると、点P、Qにおけるy=x²の法線はそれぞれ次のようになる。

　　

①−②

　　

q→pのとき、

　　

したがって、

　　

よって、Qか限りなくPに近づくとき、①と②の交点RはC

　　

に限りなく近づく。

（解答終）

 

p=1のとき、点Cは(−4,7/2)でy=x²の曲率円の中心になっており、点P(1,1)との距離rは

　　

したがって、点P(1,1)におけるy=x²の曲率円は

　　

 

この問題のように、曲率円の方程式を求めることができる。

 

交点Rを中心にする半径RPの円（点Pと点Pと異なる点Qにおけるy=x²の法線の交点Rを中心とする円で曲率円でないことに注意）を紫色で示している。この図を見ると、放物線の弧PQをよく近似できていることがわかるだろう。

 

 

（拡大図 ）

 

なお、dy/dxが１に比べて十分に小さい時、曲率半径と曲率は次のように近似できる。

　　

 

材料力学（？）や構造力学で梁（はり）のたわみの計算で使われる式だにゃ。

よく知らないけれど、

　　

とかいう式だったような記憶が・・・。

Mは曲げモーモン、Eはヤング率（？）、Iは何とかモーメントだったような気が・・・。

 

この手の話は、ddt³さんが詳しい（構造計算のプロだから）ので、きっとこれに関する記事を投稿したくださるにゃ。

オイラー大先生の座屈の話をしてくださったので、たぶん、してくれるケロ。

 

 

久しぶりに「今日のアニソン」 「名探偵ホームズ」から『グッバイ・スウィートハート』

久しぶりに、「今日のアニソン」。

アニメ「名探偵ホームズ」から「グッバイ・スウィートハート」。

たまにやらないと、「あの曲、何ってタイトルだったかな」という事態に陥ってしまうんでね。忘れてしまうにゃ。
曲名だけだったらいいけれど、曲の存在自体、忘れてしまう。

「名探偵ホームズ」の『冒険のアリバイ』（Vo.桑名晴子）という曲も好きなんだけれど、この曲はどうやらYouTubeにないので、残念なことにコチラは紹介できないにゃ。勘弁して欲しいにゃ。