第１２回 三角関数の逆関数とその微分

第１２回　三角関数の逆関数とその微分

 

§１　逆関数と狭義単調関数

 

fを区間Iからf(I)への１対１の写像（全単射）とすると、任意のy∈f(I)に対して、y=f(x)を満たすx∈Xがただ１つ存在する。yにこのxを対応させる写像をfの逆写像、逆関数といい、f⁻¹で表す。

すなわち、

　　

 

x₁,x₂∈I、x₁<x₂ならば、常に、f(x₁)<f(x₂）が成り立つときfはIで狭義単調増加関数であるといい、f(x₁)>f(x₂)であるときfはIで狭義単調減少関数という。fがIで狭義単調増加、または、狭義単調減少であるとき、fはIで狭義単調関数という。

 

定理

関数fが区間Iで狭義単調増加（減少）ならば、f⁻¹はf(I)で狭義単調増加（減少）である。

【証明】

　　x₁=f⁻¹(y₁)、x₂=f⁻¹(y₂)、y₁<y₂とする。

f⁻¹が狭義単調増加でないとすると、であるy₁,y₂∈f(I)が存在する。

すると、fは狭義単調増加だから、

　　

となり、矛盾。

よって、f⁻¹はf(I)で狭義単調増加である。

（証明終）

 

 

§２　三角関数の逆関数

 

（ⅰ）　sin xの逆関数

y=sin xは区間−π/2≦x≦π/2において狭義単調増加で、−1≦y≦1の値をとる。

ゆえに、区間−1≦y≦1で、y=sin xの逆関数x=sin⁻¹ yを定義することができる。

xとyは変数を表すただの記号にすぎないので、逆関数の独立変数をx、従属変数をyと書けば、

　　

になる。

そして、これは

　　

の意味である。

 

（ⅱ）　cos xの逆関数

y=cos xは区間0≦x≦πにおいて狭義単調減少で、−1≦y≦1の値をとる。

したがって、[−1,1]から[0,π]へうつす

という狭義単調減少関数を定義することができる。

これが余弦関数cos xの逆関数である。

 

（ⅲ）　tan xの逆関数

y=tan xは区間−π/2<x<π/2において狭義単調増加で、−∞<y<∞の値をとる。

したがって、(−∞,∞)からにうつす

という狭義単調増加関数を定義することができる。

そして、これがtan xの逆関数である。

 

 

 

問１　次のことを示せ。

【解】

（１）　sin⁻¹x=yとおくと、だから、

　　

したがって、

　　

ゆえに、

　　

 

（２）　とおくと、

　　

0<β<α<π/4であるから、

　　

また、三角関数の加法定理より

　　

よって、

　　

（解答終）

 

§３　三角関数の逆関数

 

問２　次のことを示せ。

【解】

（１）　とおくと、x=sin y。

したがって、

逆関数の微分公式より

　　

ではcosy>0だから、

　　

したがって、

　　

 

（２）　とおくと、x=cos y。

したがって、

　　

0<y<πでsin y>1だから、

　　

したがって、

　　

 

（３）　とおくと、x=tan y。

したがって、

　　

 

（解答終）

 

したがって、

　　

 

なお、上の解答では、三角関数の次の公式を使っていることに注意。