第１６回 平均値の定理

第１６回　平均値の定理

 

定理１

関数f(x)は開区間Iで微分可能とする。点c∈Iにおいて最大値、または、最小値をとるならば、f'(c)=0である。

［証明］

f(x)が点cで最大値をとるものし、区間Iの任意の点をxとする。

f(x)は点cで最大だから、

　　

x<cのとき

　　

x>cのとき

　　

f(x)は点cで微分可能だから

　　　　

が存在し、でなければならない。

よって、f'(c)=0である。

f(x)が区間内で最小値をとるときも同様に証明できる。

（証明終）

 

定理１は、開区間ではなく閉区間の場合、必ずしも成立しない。

たとえば、

　　

の場合、閉区間[−1,1]の端点x=±1で最大値1をとるがf'(x)=2xだからf'(−1)=−2≠0、f'(1)=2≠0で上の定理は成立しない。

また、

　　

は、(-1,1)で微分可能で、導関数f'(x)=3x²だからf'(0)=0となるが、f(0)はf(x)は最小値でも最大値でもない。

したがって、定理１の逆、

　f'(c)=0ならばf(x)はx=cで最大または最小である

は一般に整理しない。

 

 

定理２　（ロールの定理）

f(x)は[a,b]で連続、開区間(a,b)で微分可能とする。このとき、f(a)=f(b)ならば

　　

となるcが少なくとも１つ存在する。

［証明］

f(x)は閉区間[a,b]で連続だから、連続関数の最大値・最小値の定理より、f(x)は[a,b]で最大値、最小値をとる。

f(x)が定数の場合、常にf'(x)=0だから、定理は成立。

f(x)が定数でない場合、最大値と最小値の一方はf(a)=f(b)と異なる。これをf(c)とすると、c≠a、c≠bだから、a<c<b。

条件よりf(x)は開区間(a,b)で微分可能で、かつ、(a,b)で最大値または最小値を持つので、上の定理より

　　

となるcが少なくとも１つ存在する。

（証明終）

 

定理３　（平均値の定理）

関数f(x)が閉区間[a,b]で連続、開区間(a,b)で微分可能であるならば

　　

となるcが少なくとも１つ存在する。

［証明］

　　

とし、

　　

とする。

g(x)は[a,b]っで連続、(a,b)で微分可能であり、g(a)=g(b)=0である。よって、ロールの定理より

　　

となる点cが存在する。

したがって、

　　

となる点cが存在する。

（証明終）

 

　　

とおくと、0<θ<1となり、平均値の定理を次のように書き換えることができる。

　　

さらに、h=b−aとおくと

　　

 

問　図を参考に平均値の定理の図形的な意味を答えよ。

 

 

定理４

f(x)、g(x)を区間Iで微分可能な関数とする。f'(x)がIでつねに０であるならば、f(x)は定数である。Iでつねにf'(x)=g'(x)ならば、f(x)−g(x)はIで定数である。

【証明】

a∈Iである点aを一つとる。

平均値の定理より、x∈Iの任意の点aに対して、aとxの間に

　　

となる点cが存在する。

c∈Iだから条件よりf'(c)=0で、

　　

よって、f(x)はIで定数である。

h(x)=f(x)−g(x)とおくと、Iでh(x)は微分可能。

Iでつねにf'(x)=g'(x)だから

　　

h'(x)はIでつねに０である。

よって、h(x)=f(x)−g(x)は定数である。

（証明終）

 

問１　平均値の定理を用いて、つぎのことを示せ。

 

【解】

（１）　f(t)=log tは、t>0で微分可能だから、区間[x,x+1]で平均値の定理の条件を満たす。

よって、

　　

であるcが存在する。

0<x<c<x+1だから、

　　

 

（２）　a=bのときは自明。

a≠bのとき、平均値の定理より

　　

を満たすcがaとbの間に存在する。

したがって、

　　

（解答終）

 

問２　f(x)=x³について、

　　

を満たすθを求め、を求めよ。ただし、a≠0。

【解】

f'(x)=3x²だから、

　　

a≠0だから

　　

0<θ<1だから|θ²h|<|h|。よって、h→0のとき、θ²h→0。

ゆえに、

　　

（解答終）

 

 

f(x)は区間Iで定義される関数とする。

x₁、x₂をIに属する任意の２数としx₁<x₂とするとき、

f(x₁)<f(x₂）であればf(x)は区間Iにおいて狭義単調増加関数または狭義増加関数といい、

f(x₁)<f(x₂）であればf(x)は区間Iにおいて狭義単調減少関数または狭義減少関数という。

 

定理５　関数f(x)が区間[a,b]で連続、区間(a,b)で微分可能であるとき、区間(a,b)において

（ⅰ）　常にf'(x)>0ならば、f(x)は区間[a,b]で狭義増加関数

（ⅱ）　常にf'(x)<0ならば、f(x)は区間[a,b]で狭義減少関数

である。

［証明］

a≦x₁<x₂≦bとすると、仮定より、f(x)は閉区間[x₁,x₂]で連続、開区間(x₁,x₂)で微分可能である。したがって、平均値の定理より

　　

となるcが少なくとも１つ存在する。

f'(c)>0のとき、

　　

同様に、f'(c)<0のとき、f(x₂)<f(x₁)。

（証明終）

 

定理６　（拡張された平均値の定理）

関数f(x)は[a,b]で２回微分可能であるとすると、

　　

【証明】

　　

とし、F(a)=f(b)となるように定数Kを定めると、F(a)=F(b)=f(b)、かつ、F(x)は(a,b)で微分可能となり、F(x)はロールの定理の条件を満たす。

F(x)をxで微分すると、

　　

したがって、ロールの定理より

　　

となるcが存在する。

b≠cだから、

　　

したがって、

　　

（証明終）

 

とおくと、0<θ<1だから、

　　

さらに、h=b−aとおくと、