お前らに問題（６月２１日 方程式と不等式） [お前らに質問]
お前らに問題（６月２１日 方程式と不等式）
つらつらと考えるに、
問６ aを実数の定数とする。次の方程式の解の個数を調べよ。
という問題は、次のようにグラフを使って解く方がが絶対に楽だよな。
【別解１】
（１） 
とし、曲線
と原点を通る直線y=axの共有点を調べると、右の図のようになる。
したがって、
a<0のとき、解は１
0≦a<eのとき、解は0
a=eのとき、解は１（重解）
a>eのとき、解は２
（別解１終）
こういう解き方は厳密じゃないという批判があるけれど、
お絵かきの力、図的解法を舐めちゃ〜いけないという例。
視覚に直接訴えているので、中学生や数学が苦手な文系さんににだって理解してもらえる。
そして、この問題は
と置き、この関数の増減を調べて解くなんてことは絶対にしてはいけない。
この方法だと、場合分けが面倒くさいし、なにより、解答が長くなっていけない。
この方針で行くと、たとえば、次のようになるんだろうが、
【別解２】
（１） とおくと、
したがって、
a<0ならばf'(x)>0となり、f(x)は狭義単調増加である。
また、
なので、f(x)=0は−∞<x<∞に解を１つもつ。
a=0のとき、
なので、f(x)=0は解を持たない。
a>0のとき、
の解をγとすると、
したがって、
x<γのときf'(x)<0、x>γのときf'(x)>0となり、x=γ=logaで極小、かつ、最小で、最小値は
したがって、
e/a>1、すなわち、0<a<eならば
となり、f(x)=0は解を持たない。
e/a=1、すなわち、a=eのとき
なので、f(x)=0は解x=1を１つだけもつ。
e/a<1、すなわち、a>eのとき
f(loga)<0かつf(0)=1だから、0<x<logaに解を１つ
f(loga)<0かつ
だから、x>logaに解を１つ、
よって、a>eのとき、f(x)=0は解を２つもつ。
以上のことから、
a<0のとき、解は１
0≦a<eのとき、解は0
a=eのとき、解は１（重解）
a>eのとき、解は２
（別解２）
別解２は、ただ数式と文章を読んだだけで理解してもらうのが困難なので、上のようなグラフまでつけないといけない。
中間値の定理や関数の増減、極値などの知識確認のためにはいい解き方かもしれないけれど、こんな面倒くさい解き方、解答は御免こうむるにゃ。
ということで、お前ら、【別解１】を真似て、問６の（２）を解くにゃ。
ネムネコは、優しいから、y=logxのグラフと、原点Oを通る、曲線y=logxに接する接線の方程式を書いてやったにゃ。
ところで、
とおくと、（２）の方程式は
となりまして、（１）の結果を使って答えが出たりして(^^)。
「aを1/aに変えれば・・・」と、惑わすことを言ってみたりする。
ネムネコが考えるに、上の動画の「雷」たちのように、ネコミミをつけると、簡単に解けるようなるかもしれない。
やっぱ、ネコミミこそ至高（思考？）だにゃ。
ネコミミは、数学や量子力学をするための必須アイテムだにゃ。
己の思考の限界、殻（から）を破り、このように弾け、跳躍（ジャンプ）するためには、ネコミミが必要だと思う。なんたって、ネコミミは、宇宙からの電波をキャッチするアンテナだからね。買ってつけると、閃きやすくなり、数学の問題をスラスラ解けるようになるかもしれない（笑）。解けなくても、３次元の世界から１１次元の世界（量子よりさらにミクロな素粒子の世界）へトリップしやすくなることだけは間違いがない。
まっ、ネムネコは、これでもネコなので、自前のネコミミがいつもついているから、ネコミミをわざわざつけなくても、いつでも上の動画のように弾けられるけどさ。
この問題を出来た奴は、次の問題にチャレンジするといいと思うケロ。
問題 aを実数とするとき、次の方程式の解の個数を調べよ。
だから、
としても同一の方程式なので、
とg(x)=aの共有点の個数を調べてもいいし、
はたまた、
とおいて、この関数の増減、極値を調べ、f(x)=0となる点の個数を求めてもいい。
なお、この問題は、
として、グラフを使って、この２つの曲線の共有点を調べることは、できないことではないのだけれど、ちょっと危険、判断を誤りやすいかもしれない。
f(x)=x²と
の接点のx座標をx₀とするとき、
とならなければいけないので、
これを解くとx₀の値が求まり、そして、aの値が定まるが・・・。
このグラフから、
のとき、共有点は１つであることは容易に想像がつくが、問題は、
のとき、f(x)=x²との共有点（交点）がいくつか、グラフからだとちょっとわかりづらい。
なお、a<0のときg(x)<0、f(x)≧0だから共有点があるわけないし、a=0とき、共有点は（0,0)の１つなのは言わずもがな。
じゃぁ、のときは・・・。上の図だと２個に見えるが・・・。
時に、視覚はヒトの判断を誤らす。
ここまで（ほとんど答を教えて） やったんだから、どの方法を使おうがいいけれど、最期まで、ちゃんとやれよな。
このブログのイメージキャラの一人（？）である「ぬえ」ちゃんもこう言っているにゃ。
第２２回 微分法の方程式、不等式への応用 [微分積分]
第２２回 微分法の方程式、不等式への応用
微分法を用いることによって、方程式の解の（個数の）判別、不等式の証明を行える場合がある。
問１ 次の不等式が成り立つことを示せ。
【解】
（１） f(x)=x−sinxとすると、
よって、x≧0でf(x)=x−sinxは単調増加関数。
ゆえに、x>0ならば、
したがって、
g(x)=sinx−x+x³/6とおくと
よって、g'(x)はx≧0で単調増加なので、x>0ならば
したがって、g(x)はx>0で単調増加となり、
ゆえに、
（２）
とおくと
よって、f(x)はx>0で狭義単調増加で
また、
よって、g(x)はx>0で狭義単調増加で
したがって、
（解答終）
問２ 数学的帰納法を用いて、x>0のとき、次の不等式が成り立つことを証明せよ。
【解】
とする。
n=１のとき、
とすると、
よって、x>0のとき、
したがって、f(x)はx>0で単調増加。
ゆえに、x>0のとき
n=kのとき、
と仮定する。
n=k+1のとき、
これを微分すると、
よって、
はx>0で単調増加。
したがって、
ゆえに、任意の自然数n=1,2,3,・・・に対して
よって、
（解答終）
nを正の整数とするとき、
となるので、
また、
よって、ハサミ打ちの定理より
特に、n=1のとき
x=log t とおくと
だから、x→∞のときt→∞となるので、
問３ 次の極限を求めよ。
【略解】
t=1/xとおくと、x→0+0のとき、t→∞
（略解終）
問４ 
のとき、次のことが成り立つことを示せ。
【解】
（１）
とおくと、
条件より
p>1だから、x=1のときにf(x)は極小かつ最小となり、
（２） a>0,b>0だから、
を
に代入すると、
一方、
したがって、
（解答終）
問５ 0<a<bのとき、次の不等式が成り立つことを示せ。
【解】
平均値の定理より
であるcが存在する。
0<a<c<bだから、
よって、
（解答終）
問６ aを実数の定数とする。次の方程式の解の個数を調べよ。
【解】
（１） x=0は
の解でないので、
は同値。
なので、
とおき、y=aとの共有点を調べることにする（共有点の個数と解の個数は等しい）。
f(x)の増減そ調べるために、f(x)を微分すると、
したがって、f'(x)=0となる点はx=1。
f(x)の増減表を書くと、
したがって、f(x)はx=1で極小で、極小値はf(1)=e。
また、
だから、y=f(x)のグラフは右の図のようになる。
したがって、
a<0のとき、解は１
0≦a<eのとき、解は0
a=eのとき、解は１（重解）
a>eのとき、解は２
（２） x>0なので、
だから、
と直線y=aの共有点の個数を調べる。
f(x)の増減を調べるためにf(x)を微分すると、
したがって、f'(x)=0になるxはx=e。
増減表を書くと、
ゆえに、f(x)はx=eで極大で、極大値（この場合、最大値）はf(e)=1/e。
また、
だから、y=f(x)のグラフは右のようになる。
したがって、
a≦0のとき、解は１個
0<a<1/eのとき、解は２個
a=1/eのとき、解は１個（重複解）
a>1/eのとき、解は０個
（解答終）
問７ 方程式logx=ax+bが解を持たないように定数a、bの値を定めよ。
【解】
とすると、
a≦0のとき、f'(x)>0だから、f(x)は単調増加関数。
また、
だから、中間値の定理より、方程式f(x)=0は解を１つもつ。
したがって、logx=ax+bが解を持たないためには、a>0でなければならない。
a>0のとき、f'(x)=0になるのはx=1/aで、このとき、f(x)は極大で、かつ、最大。
したがって、
ならば、f(x)=0は解を持たない。
よって、
が実数解を持たない条件である。
（解答終）
