お前らに問題（６月２１日 方程式と不等式）

お前らに問題（６月２１日　方程式と不等式）

 

 

つらつらと考えるに、

 

問６　aを実数の定数とする。次の方程式の解の個数を調べよ。

 

という問題は、次のようにグラフを使って解く方がが絶対に楽だよな。

 

【別解１】

（１）　とし、曲線と原点を通る直線y=axの共有点を調べると、右の図のようになる。

したがって、

　a<0のとき、解は１

　0≦a<eのとき、解は0

　a=eのとき、解は１（重解）

　a>eのとき、解は２

（別解１終）

 

こういう解き方は厳密じゃないという批判があるけれど、

お絵かきの力、図的解法を舐めちゃ〜いけないという例。

視覚に直接訴えているので、中学生や数学が苦手な文系さんににだって理解してもらえる。

 

そして、この問題は

  

と置き、この関数の増減を調べて解くなんてことは絶対にしてはいけない。

この方法だと、場合分けが面倒くさいし、なにより、解答が長くなっていけない。

 

この方針で行くと、たとえば、次のようになるんだろうが、

 

【別解２】

（１）　とおくと、

　　

したがって、

a<0ならばf'(x)>0となり、f(x)は狭義単調増加である。

また、

　　

なので、f(x)=0は−∞<x<∞に解を１つもつ。

 

a=0のとき、なので、f(x)=0は解を持たない。

 

a>0のとき、

　　

の解をγとすると、

　　

したがって、

x<γのときf'(x)<0、x>γのときf'(x)>0となり、x=γ=logaで極小、かつ、最小で、最小値は

　　

したがって、

e/a>1、すなわち、0<a<eならば

　　

となり、f(x)=0は解を持たない。

e/a=1、すなわち、a=eのとき

　　

なので、f(x)=0は解x=1を１つだけもつ。

e/a<1、すなわち、a>eのとき

f(loga)<0かつf(0)=1だから、0<x<logaに解を１つ

f(loga)<0かつだから、x>logaに解を１つ、

よって、a>eのとき、f(x)=0は解を２つもつ。

 

以上のことから、

　a<0のとき、解は１

　0≦a<eのとき、解は0

　a=eのとき、解は１（重解）

　a>eのとき、解は２

（別解２）

 

別解２は、ただ数式と文章を読んだだけで理解してもらうのが困難なので、上のようなグラフまでつけないといけない。
中間値の定理や関数の増減、極値などの知識確認のためにはいい解き方かもしれないけれど、こんな面倒くさい解き方、解答は御免こうむるにゃ。

 

ということで、お前ら、【別解１】を真似て、問６の（２）を解くにゃ。

 

ネムネコは、優しいから、y=logxのグラフと、原点Oを通る、曲線y=logxに接する接線の方程式を書いてやったにゃ。

 

 

ところで、

　　

とおくと、（２）の方程式は

　　

となりまして、（１）の結果を使って答えが出たりして(^^)。

「aを1/aに変えれば・・・」と、惑わすことを言ってみたりする。

 

 

ネムネコが考えるに、上の動画の「雷」たちのように、ネコミミをつけると、簡単に解けるようなるかもしれない。

 

 

やっぱ、ネコミミこそ至高（思考？）だにゃ。

 

 

ネコミミは、数学や量子力学をするための必須アイテムだにゃ。

己の思考の限界、殻（から）を破り、このように弾け、跳躍（ジャンプ）するためには、ネコミミが必要だと思う。なんたって、ネコミミは、宇宙からの電波をキャッチするアンテナだからね。買ってつけると、閃きやすくなり、数学の問題をスラスラ解けるようになるかもしれない（笑）。解けなくても、３次元の世界から１１次元の世界（量子よりさらにミクロな素粒子の世界）へトリップしやすくなることだけは間違いがない。

 

 

まっ、ネムネコは、これでもネコなので、自前のネコミミがいつもついているから、ネコミミをわざわざつけなくても、いつでも上の動画のように弾けられるけどさ。

 

この問題を出来た奴は、次の問題にチャレンジするといいと思うケロ。

 

問題　aを実数とするとき、次の方程式の解の個数を調べよ。

　　

 

 

だから、

　　

としても同一の方程式なので、とg(x)=aの共有点の個数を調べてもいいし、

はたまた、

　　

とおいて、この関数の増減、極値を調べ、f(x)=0となる点の個数を求めてもいい。

 

なお、この問題は、として、グラフを使って、この２つの曲線の共有点を調べることは、できないことではないのだけれど、ちょっと危険、判断を誤りやすいかもしれない。

f(x)=x²との接点のx座標をx₀とするとき、

　　

とならなければいけないので、

　　

これを解くとx₀の値が求まり、そして、aの値が定まるが・・・。

 

 

 

このグラフから、のとき、共有点は１つであることは容易に想像がつくが、問題は、のとき、f(x)=x²との共有点（交点）がいくつか、グラフからだとちょっとわかりづらい。

 

 

なお、a<0のときg(x)<0、f(x)≧0だから共有点があるわけないし、a=0とき、共有点は（0,0)の１つなのは言わずもがな。

じゃぁ、のときは・・・。上の図だと２個に見えるが・・・。

時に、視覚はヒトの判断を誤らす。

 

 

ここまで（ほとんど答を教えて） やったんだから、どの方法を使おうがいいけれど、最期まで、ちゃんとやれよな。

 

 

このブログのイメージキャラの一人（？）である「ぬえ」ちゃんもこう言っているにゃ。