お前らに質問 (微分積分 5月31日) [お前らに質問]
お前らに質問 (微分積分 5月31日)
高校の数学2で、
であるとき、
という公式(?)を習ったと思う。
数学の教科書に出ていなくても、参考書や問題集には、この公式が必ず出ていたはずだ。
【証明(?)】
これでは見苦しいので、y=ax+bとおくと、
よって、
である。
【証明(?)終】
では、質問!!
問題
上の証明(?)は正しいか。
証明(?)にキズ、瑕疵(かし)があるならば、その瑕疵を指摘し、上の証明を正しいものにせよ。
言っておくけど、関数f(x)は実数全体の集合Rで微分可能。ここが間違っているわけではないケロよ。
こんなことをわざわざ問うということは、「上の証明は正しくない、大きな傷がある」と公言しているようなものだが。
さあ、この質問に答えてもらいましょうか。
そして、この動画↓の魔理沙のように即死したかもしれないにゃ。
第10回 導関数 [微分積分]
第10回 導関数
関数f(x)が開区間Iの各点xで微分可能なとき、f(x)はIで微分可能であるといい、対応x→f'(x)によって定められた関数f'(x)をf(x)の導関数という。
すなわち、
f(x)の導関数f'(x)を求めることを微分するという。
(1)以外に、関数y=f(x)に対して、その導関数を
などで表す。
関数f(x)が開区間(a,b)で微分可能で、かつ、点aで右側微分可能で点bで左側微分可能なとき、関数f(x)は閉区間[a,b]で微分可能であるという。
問1 次の関数の導関数を求めよ。
【解】
(1) f(x)=cとおくと、
(2) f(x)=xとおくと
(3) f(x)=x²とおくと、
(4) f(x)=x³とおくと
(解答終)
問1の(2)〜(4)から、nを自然数とするとき、
が成り立つことが予想される。
問2 次のことが成立することを示せ。
【解】
とおくと、2項定理より
(解答終)
x⁰=1なので、定数関数f(x)=1を形式的にf(x)=x⁰と考え、n=0のときも①が成り立つとすると、
となるので、
と拡張することができる。
問3 次の導関数を求めよ。ただし、x≠0とする。
【解】
(解答終)
なので、n=−mとおくと、問3の(3)は、
となるので、nが負の整数のときにも拡張することができて、結果、次の公式を得る。
問4 次の関数を微分せよ。
【解答】
(解答終)
問5 次の関数を微分せよ。
【解】
(解答終)
問5から、三角関数に関する次の微分公式が得られた。
なお、問5の解答では、三角関数の極限
を使っていることに注意。
問6 次の関数を微分せよ。
【解】
(解答終)
問5の解答では、
という極限の公式を使っていることに注意。
を底にした対数、すなわち、自然対数をで表すと、指数関数、対数関数の導関数は次のようになる。