お前らに問題 （上限と下限 ５月１４日）

お前らに問題　（上限と下限　５月１４日）

 

Aを空でない実数全体の集合Rの部分集合であるとする。

 

上限の定義

（ⅰ）　任意のx∈Aに対して、x≦αである

（ⅱ）　任意のε>0に対して、

　

であるx∈Aが存在する。

このときαをAの上限といい、記号

　

と表す。

 

下限の定義

（ⅲ）　任意のx∈Aに対して、β≦xである。

（ⅳ）　任意のε>0に対して、

　

であるx∈Aが存在する。

このときβをAの下限といい、記号

　

と表す。

 

 

定理

A、Bを実数全体の集合Rの空でない部分集合とする。

A⊂Bならば

　　

である。

 

たとえば、A={2,3}、B={1,2,3,4}とすると

A⊂Bで、

　Aの上限sup A=3、下限inf A=2

　Bの上限sup B=4、下限inf B=1

であり、１≦２≦３≦４なので、

　　

確かに、上の定理を満たしている。

 

というわけで、あまりに当たり前な上の定理を、お前ら、証明するケロ。

 

問題　A≠∅、B≠∅、かつ、A⊂Bならば、

　　

であることを証明せよ。

 

A。Bはともに有界である、つまり、

　　

みたいな場合は除くことにするにゃ。

 

あまりにアタリマエの、つまり、自明なことの証明ってのは、意外に難しいもの、あるいは、そう感じるもの。

証明できたとしても、なにか釈然としないところが残ったり、その証明が正しいのか、間違っているのか、わからなかったりするもんだにゃ。

 

一応、考慮時間の上限は１００分に設定しておくにゃ。

だから、この曲をその間のBGMにするといいと思うケロ。

 

 

この動画が終了したら、タイムアップだにゃ。

 

そして、

この定理を証明できた奴は、この記事のコメント欄に証明を書いて、ネムネコのところに送信するように。

 

第０回 実数の連続性

第０回　実数の連続性

 

Aを実数全体の集合Rの空でない部分集合とする。

 

ある実数uが存在し、任意のx∈Aに対して、

　

が成立するとき、Aは上に有界であるといい、uをAの上界（じょうかい）という。また、Aの上界の最小値を上限といい、記号

　

や

　

などであらわす。

 

uがAの上限であるとは、

　（ⅰ）　任意のx∈Aに対して、x≦uである　（uがAの上界）

　（ⅱ）　u'<uならば、u'<xであるAの元xが存在する　（uより小さいAの上界は存在しない）

ことである。

 

この条件（ⅰ）、（ⅱ）は次のようにしてもよい。

 

α=sup Aであるとは、次の条件を満たすことである。

　（ⅰ）　任意のx∈Aに対してx≦α

　（ⅱ’）　任意の正数εに対して、

　

　であるAの元xが存在する。

 

ある実数lが存在し、任意のx∈Aに対して、

　

であるとき、Aは下に有界といい、lをAの下界（かかい）という。また、Aの下界の最大値を下限といい、記号

　

や

　

などであらわす。

 

lがAの下限であるとは、

　（ⅲ）　任意のx∈Aに対して、l≦xである　（ｌがAの下界）

　（ⅳ）　l<l'ならば、x<l'であるAの元xが存在する　（lより大きいAの下界は存在しない）

ことである。

 

この条件（ⅰ）、（２）は次のようにしてもよい。

 

β=inf Aであるとは、次の条件を満たすことである。

　（ⅲ）　任意のx∈Aに対してl≦xである

　（ⅳ’）　任意の正数εに対して、

　

を満たすAの元xが存在する

 

集合Aが上に有界かつ下に有界であるとき、Aは有界であるという。

 

実数の連続性の公理

上に有界な実数全体の集合Rの部分集合は上限をもつ。また、下に有界な実数全体の部分集合は下限をもつ。

 

例　開区間(0,1)の上限は１、下限は０。閉集合[0,1]の上限は1、下限は0である。

 

問　開区間(0,1)の上限が１、下限が０であることを示せ。

 

定理０　（アルキメデスの公理）

任意の自然数nに対して、

　

である。

また、自然数全体の集合Nは上に有界でない。

【証明】

もし、任意の自然数nに対して

　

が成り立つならば、

　

となり、自然数全体の集合Nは上に有界になる。

したがって、自然数全体の集合Nが上に有界でないことを示せばよい。

もし、Nが上に有界ならば、実数の連続性の公理より上限αをもつ。

したがって、

任意の自然数nに対してn≦α。

αは上限なので、ε=1とすると、（１）より、α−１<nであるn∈Nが存在することになるが、これからα<n+1∈Nとなり、αがNの上限であることに反する。

よって、自然数全体の集合Nは上に有界でない。

（証明終）

 

上の定理０ではなく、下の定理０’をアルキメデスの公理と呼ぶ場合もある。

 

定理０’　（アルキメデスの公理）

任意の正の実数a、bに対して、

である自然数nが存在する。

【証明】

もし、任意の自然数に対して

であるとすると、

任意の自然数nに対して

となり、b/aは自然数全体の集合Nの上界である。Nは上に有界なので、実数の連続性の公理より、上限αをもつ。

したがって、

任意の自然数n∈Nに対して

である。

αは上限なので、ε=1とすると、（１）より、α−１<nであるn∈Nが存在することになるが、これからα<n+1∈Nとなり、αがNの上限であることに反する。

よって、自然数全体の集合Nは上に有界でない。

（証明終）

 

 

無限大記号

 

実数全体の集合Rの部分集合Aが上に有界でないとき、

　

と表す。

集合Aが上に有界であるとは「ある実数Kがあり、任意のx∈Aに対してx≦u」ということ、すなわち、

　

なので、集合Aが上に有界でないとは、（３）を否定した

　

となる。すなわち、

「任意の実数Kに対して、

　

を満たすxがAに存在する」

ことである。

また、Aが下に有界でないとき、

　

で表す。

また、Aが下に有界とは

　

ということなので、

　

すなわち、

「任意の実数Kに対して、

　

を満たすxがAに存在する」

ことである。

 

＋∞、−∞ともに実数ではないけれど、x∈Rに対して

　

と大小関係を定義することにする。

 

また、

　

さらに、

　

と加法を定義することにする。

 

x>0のとき、

　

x<0のとき

　

x=0のとき、

　

さらに、

　

と乗法を定義することにする。

 

除法に関しては、xが実数のとき、

　

 

問　という引き算、また、といった割り算を定義しないのか、その理由について考えよ。