お前らに問題 （上限と下限 ５月１４日）

お前らに問題　（上限と下限　５月１４日）

 

Aを空でない実数全体の集合Rの部分集合であるとする。

 

上限の定義

（ⅰ）　任意のx∈Aに対して、x≦αである

（ⅱ）　任意のε>0に対して、

　

であるx∈Aが存在する。

このときαをAの上限といい、記号

　

と表す。

 

下限の定義

（ⅲ）　任意のx∈Aに対して、β≦xである。

（ⅳ）　任意のε>0に対して、

　

であるx∈Aが存在する。

このときβをAの下限といい、記号

　

と表す。

 

 

定理

A、Bを実数全体の集合Rの空でない部分集合とする。

A⊂Bならば

　　

である。

 

たとえば、A={2,3}、B={1,2,3,4}とすると

A⊂Bで、

　Aの上限sup A=3、下限inf A=2

　Bの上限sup B=4、下限inf B=1

であり、１≦２≦３≦４なので、

　　

確かに、上の定理を満たしている。

 

というわけで、あまりに当たり前な上の定理を、お前ら、証明するケロ。

 

問題　A≠∅、B≠∅、かつ、A⊂Bならば、

　　

であることを証明せよ。

 

A。Bはともに有界である、つまり、

　　

みたいな場合は除くことにするにゃ。

 

あまりにアタリマエの、つまり、自明なことの証明ってのは、意外に難しいもの、あるいは、そう感じるもの。

証明できたとしても、なにか釈然としないところが残ったり、その証明が正しいのか、間違っているのか、わからなかったりするもんだにゃ。

 

一応、考慮時間の上限は１００分に設定しておくにゃ。

だから、この曲をその間のBGMにするといいと思うケロ。

 

 

この動画が終了したら、タイムアップだにゃ。

 

そして、

この定理を証明できた奴は、この記事のコメント欄に証明を書いて、ネムネコのところに送信するように。