第０回 実数の連続性 [微分積分]
第０回 実数の連続性
Aを実数全体の集合Rの空でない部分集合とする。
ある実数uが存在し、任意のx∈Aに対して、
が成立するとき、Aは上に有界であるといい、uをAの上界（じょうかい）という。また、Aの上界の最小値を上限といい、記号
や
などであらわす。
uがAの上限であるとは、
（ⅰ） 任意のx∈Aに対して、x≦uである （uがAの上界）
（ⅱ） u'<uならば、u'<xであるAの元xが存在する （uより小さいAの上界は存在しない）
ことである。
この条件（ⅰ）、（ⅱ）は次のようにしてもよい。
α=sup Aであるとは、次の条件を満たすことである。
（ⅰ） 任意のx∈Aに対してx≦α
（ⅱ’） 任意の正数εに対して、
であるAの元xが存在する。
ある実数lが存在し、任意のx∈Aに対して、
であるとき、Aは下に有界といい、lをAの下界（かかい）という。また、Aの下界の最大値を下限といい、記号
や
などであらわす。
lがAの下限であるとは、
（ⅲ） 任意のx∈Aに対して、l≦xである （ｌがAの下界）
（ⅳ） l<l'ならば、x<l'であるAの元xが存在する （lより大きいAの下界は存在しない）
ことである。
この条件（ⅰ）、（２）は次のようにしてもよい。
β=inf Aであるとは、次の条件を満たすことである。
（ⅲ） 任意のx∈Aに対してl≦xである
（ⅳ’） 任意の正数εに対して、
を満たすAの元xが存在する
集合Aが上に有界かつ下に有界であるとき、Aは有界であるという。
実数の連続性の公理
上に有界な実数全体の集合Rの部分集合は上限をもつ。また、下に有界な実数全体の部分集合は下限をもつ。
例 開区間(0,1)の上限は１、下限は０。閉集合[0,1]の上限は1、下限は0である。
問 開区間(0,1)の上限が１、下限が０であることを示せ。
定理０ （アルキメデスの公理）
任意の自然数nに対して、
である。
また、自然数全体の集合Nは上に有界でない。
【証明】
もし、任意の自然数nに対して
が成り立つならば、
となり、自然数全体の集合Nは上に有界になる。
したがって、自然数全体の集合Nが上に有界でないことを示せばよい。
もし、Nが上に有界ならば、実数の連続性の公理より上限αをもつ。
したがって、
任意の自然数nに対してn≦α。
αは上限なので、ε=1とすると、（１）より、α−１<nであるn∈Nが存在することになるが、これからα<n+1∈Nとなり、αがNの上限であることに反する。
よって、自然数全体の集合Nは上に有界でない。
（証明終）
上の定理０ではなく、下の定理０’をアルキメデスの公理と呼ぶ場合もある。
定理０’ （アルキメデスの公理）
任意の正の実数a、bに対して、
である自然数nが存在する。
【証明】
もし、任意の自然数に対して
であるとすると、
任意の自然数nに対して
となり、b/aは自然数全体の集合Nの上界である。Nは上に有界なので、実数の連続性の公理より、上限αをもつ。
したがって、
任意の自然数n∈Nに対して
である。
αは上限なので、ε=1とすると、（１）より、α−１<nであるn∈Nが存在することになるが、これからα<n+1∈Nとなり、αがNの上限であることに反する。
よって、自然数全体の集合Nは上に有界でない。
（証明終）
無限大記号
実数全体の集合Rの部分集合Aが上に有界でないとき、
と表す。
集合Aが上に有界であるとは「ある実数Kがあり、任意のx∈Aに対してx≦u」ということ、すなわち、
なので、集合Aが上に有界でないとは、（３）を否定した
となる。すなわち、
「任意の実数Kに対して、
を満たすxがAに存在する」
ことである。
また、Aが下に有界でないとき、
で表す。
また、Aが下に有界とは
ということなので、
すなわち、
「任意の実数Kに対して、
を満たすxがAに存在する」
ことである。
＋∞、−∞ともに実数ではないけれど、x∈Rに対して
と大小関係を定義することにする。
また、
さらに、
と加法を定義することにする。
x>0のとき、
x<0のとき
x=0のとき、
さらに、
と乗法を定義することにする。
除法に関しては、xが実数のとき、
問 
という引き算、また、
といった割り算を定義しないのか、その理由について考えよ。
2019-05-14 12:00
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