お前らに問題 （関数の極限と連続 ５月１３日）

明日から１変数の微分積分の記事を新たにブログに連続アップする予定なので、関数の極限と連続に関するちょっとした問題。

 

問題　次の関数f(x)がある。

　

（１）　が存在すれば値を求めよ。存在しないならば、その理由を述べよ。

（２）　f(x)は点x=0で連続か。連続でなければ、その理由を述べよ。

（３）　a≠0とすると、は存在するか。存在するならばその値を求め、存在しないならばその理由を記せ。

（４）　a≠0とすると、関数f(x)は点x=aで連続か。

 

問題の関数f(x)のグラフ化は不可能なのですが、これが無いとイメージ化が出来ないので、右の図のようにしたにゃ。

 

黒い実線の部分（？）がxが無理数のときのf(x)のグラフ（？）で、赤い細かい破線の部分（？）がxが有理数のときのf(x)のグラフ（？）だにゃ。

 

なぜ、こう表したかって？

有理数の濃度は可算濃度（「あれふ・ぜろ」と読むにゃ）で、無理数の濃度は不可算濃度の（あれふ）で、はと比較にならないくらい、トンデモなく大きく、実数のほとんどすべてを無理数が占めているからだにゃ。

実数の濃度も不可算濃度のなので、無理数の個数（濃度）と実数の個数（濃度）は同じなんだケロよ。

このことを踏まえ、模式的に、右の図のように表したんだにゃ。

 

 

一応、関数の極限と連続の（高校数学流の）定義を書いておくにゃ。

 

関数の極限

xがaとは異なる値を取りながら限りなくaに近づくと、その近づき方にかかわらず、f(x)がある一定の値αに限りなく近づくとき、関数f(x)は点aで収束するといい、

　　

と表し、この一定の値αをf(x)の点aにおける極限値という。

 

上の関数の連続の定義で下線部を施したのには深い理由があるにゃ。

 

悪評高いε−δ（いぷしろん・でるた）論法で書くと、次のようになる。

 

任意の正数ε>0に対して、ある正数δ>0が存在し、

　　

が成り立つとき、関数f(x)は点aで収束するといい、記号

　　

で表す。また、αをf(x)の点aにおける極限値という。

 

関数の連続

であるとき、関数f(x)は点aで連続であるという。

 

ゴキブリのごとく多くのヒトに忌み嫌われているε−δ論法による関数の連続の定義は次のとおり。

 

任意の正数ε>0に対して、ある正数δ>0が存在し、

　　

が成り立つとき、関数f(x)は点aで連続であるという。

 

問題の問い方とグラフ（？）を見れば、

（１）の答はであることは容易に想像がつき、さらに、これからとなって点x=0で関数f(x)が連続であることが予想できるだろう。

できる奴は、であることを証明するといいにゃ。

ひょっとしたら、嘘かもしれないし(^^)

 

この証明には、みんなの嫌われ者であるε−δ論法を使うか、

　　

とｆ（ｘ）を挟み、高校数学でお馴染みのハサミ打ちの定理を使うといいかもしれない。

 

ハサミ打ちの定理

g(x)≦f(x)≦h(x)で、かつ、ならば、

　　

である。

 

 

答はここにあるの？ないの？

I don't know. 今もわからないよ

今すぐ解けないかもしれない

諦めない　解けるまでは♪

 

さてさて、

「関数f(x)が点aで連続である」と聞くと、我々はどうしても曲線y=f(x)が点aでつながっていることをイメージしてしまうけれど、問題の曲線y=f(x)はどの部分でもブツブツと切れていて繋がってはいない。だって、有理数と有理数の間にはかならず無数の無理数があり、無理数と無理数の間にもかならず無数の有理数があるからね〜。

つ・ま・り、

関数f(x)が点aで連続であるということと、曲線y=f(x)が点aでつながっているということは、実は、まったく別なことってわけですよ。

 

最後に、久しぶりに、この曲のこの動画を♪

 

 

「ぬえ」ちゃんと 正邪は、このブログを象徴する重要なキャラクターだからね〜。