「３次間数と変曲点」の補足と座標変換について

「３次関数と変曲点」という記事で、つぎのようなコメントをいただいたので、補足説明をすることにする。

 

もう一度コメントお許しを

私がはまったのは

　y = f(x)

の (α, β) 平行移動後の方程式は

　y - β = f(x - α)

はみんな知ってるんですが、この逆なんですよね。

要するに「平行移動したグラフを元に戻す」には

　(x + α, y + β)

と、足さなきゃならんと。

だからクソ暗記で「引いたものを代入」なんてやらず

ちゃんと考えなきゃダメってことですね。

 

この動画の問３と似たような勘違い！？

 

 

何気に似ているから、よく、間違えるにゃ。

 

点Oを原点とするO−xy座標系があり、この平面上に点Pがあり、その座標を(x,y)とする。

また、この同一平面上に点O'があり、O-xy座標系における（α、β）とする。

さてさて、点Pをそのままにして、O−xy座標系を平行移動させたものをO'−XY座標系と呼ぶことにし、新しいO'−XY座標系における点Pの成分〈X,Y〉とすると、

　

という、O−xy座標系からO'−XY座標系への座標変換による点Pの成分変換の関係が得られる。

（右図参照）

また、この（１）式から〈X,Y〉から(x,y)への

　

という点Pの成分変換の式を得ることができる。

 

そして、この（２）式から得られたx=X+α、y=Y+βを曲線y=f(x)に代入すると、

　

となり、これが曲線y=f(x)の新しいO'−XY座標系における曲線の方程式ということになる。

 

この場合、新たな座標系を設定しただけで、平面上の点は、一切、動かないので、くれぐれも注意するにゃ。

 

ベクトルを使って、x軸の正の向きの単位ベクトル、y軸の正の向きの単位ベクトルをそれぞれとすると、

　

である。

で、X軸、Y軸の正の向きの単位ベクトルをとし、

　

このXとYをO'-XY座標系のX成分、Y成分とする。

X軸とx軸、Y軸とy軸は平行なので、

　

よって、

　

とか何とか書いたほうがいいのかもしれないけれど・・・。

 

ところで、O−xy座標系を原点Oを中心に反時計まわりにθ回転させた、回転座標系O−x'y'では、成分変換の式はどうなるケロか。

 

いま、高校では行列を習わないけれど、

一次変換の知識を元に

　

などとしたら間違いだにゃ。

だって、１次変換は、平面上の点すべてが原点Oを中心に半時計回りにθ回転するんだから。

座標変換とは、似て非なるものだにゃ。

 

「お前らにヤレ！」と言っても絶対にやらないから、ヒントを出してやるにゃ。

 

 

x’軸の正の方向の単位ベクトルは

　

y'軸の正の方向の単位ベクトルは

　

だケロ。（なぜ、①、②式のようになる？）

したがって、

　

①と②を③の右辺に代入すればx、yとx'、y'の関係式が得られ、これをx'、y'について解けばよい。

 

すると、たぶん

　

となるはず。

これを行列で表すと、

　

したがって、・・・・

２×２の行列の演算を知っている奴なら、この式を見ただけで答がわかる代物。

 

あるいは、①、②を連立させて、ついて解きそれを、③の中辺に入れての係数を比較する。

 

さあ、やってもらいましょうか。ここまで丁寧なヒントを出してやったのだから、ちゃんと最後までヤレ。

誰が読んでも納得してもらえるような、きちんとした答案の形にせよ。

 

 

 

 

なお、探せば、このブログのどこかにこの答が書いてあるので、答は教えないにゃ。って言っても、ほとんど、答を教えているようなものだけれど・・・。

だけど、

ddt³さんはとっても優しいので、そして、線形代数の記事を投稿してくださっているので、きっと、丁寧な解答を書いて送ってくれと思うにゃ。

ひょっとしたら、連立方程式を解くのに、クロネッカーのデルタを使った解法まで紹介してくれるかもしれないケロよ。

さらに、（２×２の行列の）直交行列の話しなんかもしてくれるかもしれない。

だ・か・ら、

みんな、期待して待つにゃ。

ずるい方法があることはあるんだけれど、ズルはよくないにゃ。

コメント 1

　ddt^3です。

＞ずるい方法があることはあるんだけれど、ズルはよくないにゃ。

　いや、ズルしましょう。だって、そういう発想こそが現代数学なんですから。

　ネコ先生という創造神は、任意の位置ベクトル(x，y)をθ回転させた(x'，y')の計算式を、既に与えて下さいました(^^)。
　いいですか、「任意の位置ベクトル」ですからね。ネコ創造神によって造られた2次元平面(x，y)という宇宙は、その全ての点が、先の計算式により「一斉に」θ回転するのです。宇宙全体が「一斉に」θ回転するのですよ。

　で、神のしもべddt^3は思わず遊園地のコーヒーカップを思い出す訳です。自分がぐるぐる回転したら、まわりの宇宙も「一斉に」ぐるぐる回転します。自分は「自分に固定された観測座標系」を持っています。それは自分に対しては不動のものです。それが自分とともに「一斉に」回転した時、まわりの宇宙も「一斉に」回転するように見えます。でもまわりは動いてないはずです。

　上記をまわりの宇宙から見たら、ddt^3の座標系は回転してる事にはなりませんか？。これは座標変換と同じですよね？(^^)。
　ddt^3の座標系がまわりの宇宙に対してθ回転したとします。この時その回転が左回りなら、ddt^3から見た宇宙は、右回りに「一斉に」回転するはずですよね？。そしてその大きさはθのはずです。

　では宇宙が自分に対して回転するのと、自分が宇宙に対して回転するとで、見え方に何か違いがあるでしょうか？。

　「回転方向の違いしかない！」

と、自分はと思います。従ってネコ創造神が与えた一次変換式に、－θを代入すればOKになりませんか？(^^)。

　こういう感覚は（普通、持ってると思うんですけど）、線形代数において基底の変換（座標変換）と表現ベクトル（一次変換）は常に逆向きであるという一般論になり、直交行列の転置行列がその逆行列になる事を、計算抜きで示せる事になります（普通は計算しますけど(^^;)）。

　この事情は関数の平行移動でも同じです。だからネコ先生も最もわかりやすい例として、回転行列を持ち出したんだと思います。要は、

　「自分が動くのと、宇宙が動くのは同じだけど、方向は逆ね」

です(^^)。

by ddtddtddt (2019-05-13 18:58)