［行列式２．行列式の公理的扱い］

［行列式２．行列式の公理的扱い］

 

　前回までの結果は、こうでした。

 

［定義4］

　n次正方行列Ａ＝(a_ij)，i，j＝1～n について、

　　

(1)

　　ただしΣ_{j1j2･･･jn}は、並び(1 2 ･･･ n)の任意の置換(j₁j₂･･･j_n)についての和．

 

で表されるdet(Ａ)をn次正方行列Ａの行列式と言う。σ(j₁j₂･･･j_n)＝±1であり、値は［定義5］に従う。

 

［定義5］

　(1 2 ･･･ n)からその置換(j₁j₂･･･j_n)にいたる互換数をt(j₁j₂･･･j_n)として、

　 

(2)

　(1 2 ･･･ n) → (j₁j₂･･･j_n)に関して互換数tは一意ではないが、tの偶奇は一意。

 

　［定義4］と［定義5］は先人たちの遺産です。そして先人たちは、(1)，(2)を与えただけでは満足しませんでした。基本的には前回の［定理1］をフル活用して(1)，(2)から、次に述べるdet(Ａ)の性質を直接証明しました（添え字と闘いながら(^^;)）。

 

１．行列式の公理的扱い

　n次正方行列Ａ＝(a_ij)のk列目を縦ベクトルa_k＝(a_1k，a_2k，･･･，a_nk)^tとみなし、Ａ＝(a₁，a₂，･･･，a_n)と書きます。det(Ａ)は、n個の縦ベクトルを変数とする関数det(Ａ)＝det(a₁，a₂，･･･，a_n)とみなせます。　

　det(a₁，a₂，･･･，a_n)には次の性質があります。

 

d1) bをn次の縦ベクトルとして、

　

 

(d2) kをスカラーとして、

　

 

d3) j≠kを2つの異なる列番号として、

　

 

(d4) 単位行列Ｅ＝(e₁，e₂，･･･，e_n)に対し、

　

 

　性質(d1)(d2)を特に重線形性といい、じつは全てのテンソルの源泉です。よって(d1)～(d4)を明示的に示すと、行列式が本質的にテンソルである事がモロバレなのです(^^)。(d3)は交代性と言われます。(d4)は、いちおう自明な性質です。

 

　次に、(d1)～(d4)が行列式の特徴づけにもなっている事を証明します。(d1)～(d4) ⇒ (1)を示します。あらかじめ言っておきますが、この証明に賢いショートカットはありません。(d1)～(d4)に従って、ひたすら地道ぃ～に計算するのみです。(d1)～(d4)はそういう行為が可能なように、特に選ばれた性質なんですよ(^^;)。

 

［定理3］

　性質(d1)～(d4)は、行列式det(a₁，a₂，･･･，a_n)を特徴づける。すなわち(d1)～(d4)を満たすn個のベクトルを変数とする関数det(Ａ)は、(1)でなければならない。

［証明］

 

1) det(a₁，a₂，･･･，a_n)を強引に展開する

　(d4)で利用した自然基底{e₁，e₂，･･･，e_n}を使います。Ａ＝(a_jk)のk列目を表す縦ベクトルa_kは自然基底を使うと、

　

 

と表せるので、

　

(3)

 

になります。(3)に(d1)を使って展開する訳ですが、見当をつけるために、

　

 

という積を考えてみます。

 

 

(4)

 

 

 

　(4)の1段目から2段目への移行，2段目から3段目への移行において、形式的に(d1)と全く同じ「分配」になってますよね？。4段目はa_jkの後ろの添え字kについてまとめただけです。ただし(j，k)＝(j₁，1)のa_jkと(j，k)＝(j₂，2)のa_jkの積をa_j11 a_j22と書くと訳わかんなくなるので、a_{j1, 1} a_{j2, 2}と書きました。ここで前半の添え字j₁とj₂は1～2を自由に動けます。それは(4)の1段目から3段目への移行過程を追えば、明らかと思います。5段目はΣ_j1Σ_j2をΣ_{j1, j2＝1～2}と略記しただけです。

　

 

でも同様な事が起きます。結局現れる項は、各Σからa_jkを1個ずつ拾ってかけたものなので、

　

 

という形をしていて、j₁，j₂，j₃がスロットルマシンの窓のように、j₁，j₂，j₃＝1～3をグルグル回るというイメージです(^^)。そうすると(3)は積、

　

 

に対応するので、

　

(5)

 

という形でなければなりません。e_jkがついてまわるのは、e_jはa_jkの前半の添え字と同じ添え字jを持つからです。

　(5)の右辺に(d2)を適用します。

　

　

　

(6)

 

　(6)を(5)に考慮すれば、

　

(7)

 

が得られます。

 

2) j≠kを2つの異なる列番号として、a_j＝a_kならdet(Ａ)＝0である事を証明する

 

(d3)より、

　

∴

　

(8)

　(8)より(7)右辺のdet(e_j1，e_j2，･･･，e_jn)の中に重複する添え字があれば、det(e_j1，e_j2，･･･，e_jn)＝0。よって、(j₁j₂･･･j_n)の並びで重複番号のない順列だけが残るので、

　

(9)

 

　ここでΣ_{j1j2･･･jn}は［定義4］に従い、並び(1 2 ･･･ n)の任意の置換(j₁j₂･･･j_n)についての和。

 

3) det(e_j1，e_j2，･･･，e_jn)をdet(e₁，e₂，･･･，e_n)に戻す

　置換(1 2 ･･･ n) → (j₁j₂･･･j_n)をp(1 2 ･･･ n)＝(j₁j₂･･･j_n)と書く。逆置換p^-1はp^-1(j₁j₂･･･j_n)＝(1 2 ･･･ n)と書ける。

　(9)の右辺の各項、

　

 

をp^-1で並べ替える。p^-1の定義より、p^-1で並べ替えれば、

　
 

(10)

　

　

(11)

である。ここに(10)の(k₁k₂･･･k_n)は、p^-1(1 2 ･･･ n)＝(k₁k₂･･･k_n)。(11)右辺の±は(d3)による。

　(11)の符号を決定する。置換pを互換に分解すれば互換数をmとして、

 

　　p＝t(k_m，L_m)･t(k_m-1，L_m-1)･････t(k₂，L₂)･t(k₁，L₁)　　　(12)

 

の形になる。逆置換p^-1としては、

 

　　p^-1＝t(k₁，L₁)･t(k₂，L₂)･････t(k_m-1，L_m-1)･t(k_m，L_m)　　　(13)

 

を取れば十分である。すなわちp^-1の互換数はpの互換数mに等しいとできる。m＝t(k₁k₂･･･k_n)とできるので(11)は、

　

 

 

　さらに(d4)と［定義5］を使えば、

　

(14)

 

4) Σ_{j1j2･･･jn}＝Σ_{k1k2･･･kn}である事を示す

　置換全体の集合と逆置換全体の集合を、P＝{(j₁j₂･･･j_n)|(j₁j₂･･･j_n)＝p(1 2 ･･･ n)}とP^-1＝{(k₁k₂･･･k_n)|(k₁k₂･･･k_n)＝p^-1(1 2 ･･･ n)}で定義する。

　(12)，(13)より置換もその逆置換も、互換の合成として置換である。よって逆置換は置換であり、置換はある置換の逆置換に等しい。従って、(j₁j₂･･･j_n)∈Ｐ ⇒ (j₁j₂･･･j_n)∈P^-1　かつ　(k₁k₂･･･k_n)∈Ｐ^-1 ⇒ (k₁k₂･･･k_n)∈P　が成り立ちP＝P^-1であるので、Σ_{j1j2･･･jn}＝Σ_{k1k2･･･kn}が言える。

∴(10)，(14)から、

 

　

(15)

 

 

が成り立つ。

 

　以上まとめれば(3)，(9)，(15)より

　

　(16)

 

なので、(d1)～(d4)を満たすn個のベクトル変数を持つ関数det(Ａ)は、(1)以外にない。

［証明終］

 

　そして最後にエディントンさんが登場します。(16)右辺のΣは添数j₁，j₂，･･･，j_nに重複番号があってはならないという制限がつくために、かなり扱いにくいものになります。もしj₁，j₂，･･･，j_nが完全に独立に1～nを自由に動けたら、［定理3］の1)の中で述べたスロットルマシーンのイメージで、形式的には非常に扱いやすくなるというのは、わかって頂けると思います。その望みをかなえてくれるのが、エディントンのイプシロンです。

 

［定義6］

　　

(17)

 

 

　エディントンのイプシロンε(j₁j₂･･･j_n)は具体的には、

　

(18)

 

です。これは［定理3］の2)と3)で明らかと思います。(18)を使えば(16)は、

　

(19)

 

になります。(19)でj₁，j₂，･･･，j_n＝1～nは完全に自由です（＝1～nは省略しました）。j₁，j₂，･･･，j_nの中に重複があれば自動的に0になるのでOKよ、という訳です(^^)。

 

２．まとめ

　もし(d1)～(d4)を行列式の公理とみなすなら、［定理3］はwell difined性の証明になります。これは公理論ではよくある事態です。具体的な定義(1)があり、同じものを(d1)～(d4)でもちゃんと定義できる事を確認した訳です。(d1)～(d4)の方が行列式の性質をもろに記述してるので、(1)より(d1)～(d4)の方が使い勝手が良いのです。

　well difined性の観点から言うと、(d1)～(d4) ⇒ (1)を証明しただけではまだ道のりの半分で、厳密には(1) ⇒ (d1)～(d4)も(1)から直接証明しないと完全ではありません。そうでないと(d1)～(d4) ⇔ (1)とは言えないからです。(d1)～(d4)から(1)を導いても、(1)が(d1)～(d4)を満たさない論理的可能性はいちおうあります。しかし今回は行列式が(1)でOKだという前提があったので（(1) ⇒ (d1)～(d4)は先人やってくれてた(^^)）、そこは省略しました。

　よって以降は、(1)から添え字と闘いながら(d1)～(d4)を直接証明する事無く、(d1)～(d4)を「自明」として使う事ができます。またエディントンのεは一種の省略記法とみなせますが、実際に使用してみると非常に便利だとすぐわかります。

　well difined性の証明は普通、確認のためのたんなるルーティン・ワークで終わります。(d1)～(d4)の目的を理解していれば［定理3］の証明も地味ぃ～なルーティン・ワークではあるんですが、行列式では特に［定理3］の内容が、ほぼ行列式の理論展開の決定打になります。

 

　このように少なくとも数学では、適切な公理的手法と省略記法の導入が、侮れない威力を発揮する事があります。それらは表現を変えただけに過ぎないにも関わらず。