徒然なるままに接線の話 [微分積分]
徒然なるままに接線の話
y=f(x)の微分（係数）と曲線y=f(x)の接線とは深い関係があるので、微分法に入る前に接線についての話をす少し。
そして、いきなり、２次関数の接線を求める問題から始まる。
問題１ 曲線y=x²がある。曲線上の点（１,１）における接線の方程式を求めなさい。
【解答】
求めるべき接線の傾きをmとすると、接線の方程式は
直線①と曲線y=x²は点（1,１）で接するので、①とy=x²からyを消去した２次方程式
は重解を持たなければならい。
したがって、②の判別式をDとすると、
よって、接線の方程式は
である。
直線x=1は曲線y=x²の点(１,1）における接線でないので、求めるべき接線はy=2x−1に限る。
（解答終）
普通、下線を引いたところは書かないけれど、うるさいことをいうと、この一文は必要。
さらにうるさいことを言うと、③が点（1,1）を通ること、また、y=x²とy=2x−1が本当に接していることなども明記しないといけないのだろうが・・・。
上の判別式を用いた解法は、難しい２次方程式を解かないといけない上に、冗漫に感じられる。
そこで、
３次関数y=x³の接線を見据え、２次方程式の解と係数の関係を使った別の解答を示す。
【別解】
求めるべき接線の傾きをmとすると、接線の方程式は
直線①と曲線y=x²は点（1,１）で接するので、①とy=x²からyを消去した２次方程式
は重解としてx=1を持たなければならい。
したがって、２次方程式の解と係数の関係より
よって、m=2。
ゆえに、y=x²の点(1,1)における接線の方程式は
（解答終）
このように解けば、難しい２次方程式を解くことなく、接線を求めることができる。
【参考】
２次方程式
の解をα、βとすると、次の（解と係数の）関係が成り立つ。
問題２ 曲線y=x³上の点(1,1)における接線の方程式を求めよ。
【解答】
求めるべき接線の傾きをmとすると、接線の方程式は
この式を使って、y=x³のyを消去すると、
曲線y=x³と直線②は点(1,1)で接するので、２重解x=1をもつ。３次方程式②の残りの解をαとすると、３次方程式の解と係数の関係より、
この連立方程式を解くと、
m=3を①に代入すると、
ゆえに、求めるべき接線の方程式は
（解答終）
【参考】
３次方程式
の解をα、β、γとすると、
微分や３次方程式の判別式を使わず、y=x³の点(1,1)における接線を求めてしまったにゃ。
すごいケロ！！
宿題 曲線y=x³上の点(a,a³)における接線の方程式を求めよ。
【答】 y=3a²x−2a³
２次関数とその接線、円（楕円）とその接線のイメージからy=f(x)とその接線lの共有点（接点）は１つというイメージがあるけれど、問題２の図を見ればわかるように、一般の曲線とその接線の共有点は必ず１つに限られるいうわけじゃないにゃ。
それはそれとして、
問題２の解答では、曲線y=x³上の点(1,1)で曲線y=x³と直線①が接するから、３次方程式②はx=1を２重解としてもつとしているけれど、これは何故ですか？
意外に、この質問にちゃんと答えられないかもしれない(^^)
だって、高校の数学では、曲線の接線の定義をキチンと与えていないもん。
にもかかわらず、
微分積分では、
いきなり、
曲線y=f(x)の点(a,f(a))における接線の方程式は
と出てくるのであった。
何故は通用しない。（１）が接線の定義だ！！
ところで、y=f(x)=x³+1とし、a=0とすると、次の方程式が得られる。
この直線y=1はy=x³+1の点(0,1)における接線ですか？
点(0,1)は、接点ですか、交点ですか？
われわれのもつ接線のイメージと合致しますか？
さらに、
としたとき、曲線（？）y=f(x)は点(0,0)でx軸と接していますか。
曲線y=f(x)=|x|と直線y=0との交点は(0,0)の一個だけだから接しているような、でも、f'(0)が存在しないからy=0は(0,0)における接線でないということになるので、y=0は接していないような・・・。
まぁ、（１）こそが曲線y=f(x)の点(a,f(a))における接線の定義と言われれば、それまでなんだけれど・・・。
だとしたら、「問題１、２の解答（？）は、けしからん」ということになるのであろうか。
どのようにしたら問題１、２の解法を正当化できるのであろうか？
