第７回 連続関数の性質 [微分積分]
第７回 連続関数の性質
区間Iで定義された関数f(x)が、Iの各点aで連続であるとき、すなわち、
任意のa∈Iと任意のε>0に対し、ある正数δ>0が存在し、
であるとき、
f(x)はIで連続、あるいは、f(x)はI上の連続関数という。
ただし、区間Iが開区間(a,b)でなく、閉区間[a,b]などであるとき、
x=aで右連続、すなわち、
x=bで左連続、すなわち、
とする。
定理１
関数f(x)、g(x)がI上の連続関数、また、α、βを定数とすると、
はI上で連続な関数である。
基本的に関数の極限と同様の証明なので、証明は省略。
問１ 関数f(x)が（実数全体の集合Rで）連続ならば、
は（実数全体の集合Rで）連続であることを示せ。
【略解】
関数f(x)は任意のa∈Rで連続なので、任意のε>0に対して、適当なδ>0をとると、
よって、はIで連続。
（略解終）
問２ 関数f(x)がI上で連続、かつ、Iで常にf(x)≠0ならば、1/f(x)はI上で連続であることを示せ。
【解答】
a∈Iとすると、f(a)≠0なので、
そこで、任意の正数εを
にとると、f(x)は連続なので、あるδ>0が存在し、
また、
よって、
したがって、
ゆえに、
となり、1/f(x)はI上で連続な関数である。
（解答終）
問３ f(x)は実数全体の集合Rで連続な関数であるとする。xが有理数のときつねにf(x)=0ならば、f(x)はRでつねにf(x)=0であることを示せ。
【解】
f(a)≠0である無理数a∈Rが存在すると仮定すると。
そこで、
とすると、f(x)はaで連続なので、このε>0に対して、あるδ>0が存在して、
となる。
が成り立つので、
であるすべてのxについて
となり、のにある有理数xについても
となり、仮定に反する。
よって、無理数xのときにも、
となり、f(x)はx∈Rで常に
である。
（解答終）
問４ f(x)、g(x)はRで連続な関数とする。有理数の点xで常に
が成り立てば、任意のx∈Rで
が成り立つことを示せ。
【解】
とすれば、h(x)はRの連続な関数で、有理数の点xで常に
したがって、問３より、任意のx∈Rでh(x)=0。
よって、任意のx∈Rで
（解答終）
定理２
関数f(x)がI上で連続、関数g(x)がJ上で連続、かつ、
でなるならば、合成関数
はI上で連続である。
ここで、
【証明】
a、x∈Iとし、b=f(a)とすると、b∈J。
y∈Jとすると、g(x)はJで連続なので、任意のε>0に対して、あるδ’>0が存在し、
また、f(x)はIで連続なので、任意のε’>0に対して、あるδ>0が存在し、
ε'は任意の正数なので、ε'=δ'とし、δ>0を新たに定めると、
（証明終）
定理３ （逆関数の連続）
関数fをIで狭義単調増加で連続とすると、f(I)でf⁻¹は狭義単調増加で連続である。
定理４ （中間値の定理）
関数f(x)は閉区間[a,b]で連続、かつ、f(a)≠f(b)とするとき、f(a)とf(b)の間の任意の実数γに対して、
となる点cが存在する。
【証明】
f(a)<f(b)の場合を証明する。
f(a)<γ<f(b)となる任意の実数γをとり、
とおくと、g(x)は[a,b]で連続でg(a)<0、g(b)>0となる。このとき、
をみたすcが存在すれば、f(c)=γとなり求めるものとなる。
そこで、
とし、上限sup A = cとし、g(c)=0と仮定する。
（ⅰ）g(c)>0とする。
sup A =cだから任意のδ>0に対して
であるxが存在し、このときx∈Aだからg(x)<0である。
Aは[a,b]の部分集合で、sup A=cは[a,b]の点だから、f(x)は点cで連続である。したがって、定理より十分小さなδ>0をとればg(x)はf(c)>0と同符号となるが、これはg(x)<0であることに反する。
（ⅱ）g(c)<0とする。
g(b)>0だからc≠b、c<bである。
よって、δ>0を十分小さくとると、
であるxに対してg(x)はg(c)<0と同符号となり、x∈Aとなるが、c<xはsup A=cと矛盾する。
よって、（ⅰ）、（ⅱ）のいずれにしても不合理で、g(c)=0である。
（証明終）
定理４の系
関数f(x)が[a,b]で連続で、f(a)とf(b)とが異符号ならば、
であるcが存在する。
問５ 方程式x³+3x−1=0は、０と１の間に解をもつことを示せ。
【略解】
f(x)=x³+3x−1は連続な関数で、f(0)=−1、f(1)=3だから、０と1の間にf(c)=0となるcが存在する。
（略解終）
定理５ （最大・最小値の定理）
関数f(x)が閉区間[a,b]で連続であるとき、f(x)は[a,b]で最大値、最小値をもつ。
この定理の証明には、ボルツァノ・ワイエルシュトラスの定理などが必要となるので、定理だけを紹介する。
