お前らに問題！！（５月１９日）の解答かも [お前らに質問]
お前らに問題！！の解答かも
問題
次の常微分方程式の境界値問題を解け。
ここで、y(a)は点x=aにおけるyの値とする。
【解答（？）】
微分方程式
の一般解は
である。
y(0)=0だから、
また、y(l)=0だから、
ゆえに、c₁=0またはsinωl=0である。
c₁=c₂=0のときは、自明解である定数関数y=0。
sinωl=0のとき、ω>0だから、
よって、
（解答（？）終）
今日は暑いせいか（最高気温２８℃）、はたまた寝不足（３〜４時間くらいしか寝ていない。６時間くらい寝ないと、ネムネコは頭が正常に機能しない）がたたってか、「熱伝導方程式の解」でもおかしなことを書き、「お前らに問題！！」でもポカを連発するなど、今日はいつに増しておかしいにゃ。
今日は、もう、休んだほうがよさそうだにゃ。
お前らに問題 （微分方程式 ５月１９日） [お前らに質問]
お前らに問題！！
次の常微分方程式の境界値問題を解け。
ここで、x(a)は点t=aにおけるxの値とする。
ノーヒントだと辛いかもしれないので、
微分方程式
の一般解は
だケロ。
このブログの訪問者の中には、文系出身者がいて、こんな微分方程式なんて解けないかもしれないから。
微分方程式を解くまでもなく、
という定数関数が上の境界値問題の解であることは確かだが、
ネムネコがそんな単純な問題を出すわけがないにゃ。
世の中、答が常に一つとは限らないケロよ。
夜空にきらめく小さなお星さま（Estrellita）の数以上、無数に答があったっていいじゃないか。
おまけとして、サインとコサインのグラフをつけておくにゃ。
我ながら、
なーんて素晴らしいネコなんだウサー！！
微分方程式を
や
と間違えていたので、式を訂正しました。
うっかりミスは。誰にもあるもんだにゃ。
（この）間違いに気づいた奴は、何故、間違いをネムネコに指摘しないケロか。
「オレはよく書き真ちがいをするから、間違いを見つけた人は、コメント欄にそのことを書いてネムネコのもとに送信するように」と、何度も、お前らにお願いしているじゃないか。
お陰で恥を２時間ほど晒してしまったじゃないか。
だから、悪いのは、ネムネコじゃなくて、お前らだと思うにゃ。
「いつも偉そうにしているけど、ネムネコ、ここ、間違っていやがる」
とばかりに、鬼の首をとる絶好のチャンスだったのに、惜しいことをしたにゃ、お前ら。
熱伝導方程式の変数分離法による解 [微分方程式の解法]
熱伝導方程式の変数分離法による解
ddt³さんの記事に熱伝導方程式の話が出たので
z=z(t,x)とし、
熱伝導方程式
を満たす、
の形の解を求めることにする。
（２）を（１）に代入すると、
仮定より、右辺は変数xだけの関数、左辺は変数tだけの関数になるので、（３）式の値は定数でなければならない。
（３）式の値が正のとき、p²（p>0)とおく。
すると、
となり、
したがって、
（３）式の値が負のとき、−p²とおくと、
したがって、この解は
（３）式の値が0のとき、
となり、解は
である。
（３）式の値が正、０のとき、t>0のときの境界条件
を満たすためには、z=0となり、解として不適。
というわけで、（３）式の値は負でなければならず、
の形で表されるものでなければならない。
境界条件z(t,0)=z(t,a)=0を満たさなければならないので、
①から、c₂=0。
c₁=0のとき、②は満たすが、初期条件z(0,x)=f(x)を満たすためにはf(x)=0となってしまい都合が悪い。
というわけで、②式を満たすためには、
でなければならなず、
したがって、
が解になりそうですが（
は定数）、これでは、初期条件
を満たさない。
そこで、
が解だったらいいなと考え、
が成り立つように係数を定める。
すると、
フーリエ級数から
と係数が定まり、
が求める偏微分方程式の解になる。
