［バーガーズ方程式_1］

［バーガーズ方程式_1］

 

　集団就職の時代じゃなかったけれど（だから金の卵などと呼ばれたおぼえはない）、高校卒業後すぐにオイラは、神奈川にいたことがあったのだ。暑かったよ。おかげで2年で故郷である北の国へと帰ったケロ。いや「ケロ」じゃない。帰った「ニャ」でもない。「帰ったジャン」なのだ。そう、神奈川時代に忘れた事とおぼえた事がある。忘れたのは、東北以北の浜言葉のイントネーション。おぼえたのは湘南方言である「ジャン」。

　ところで数学教師みたいで嫌なのだけれど、なんでもかんでも数値積分すりゃ良いってもんじゃないのだ。例えば線形の座標変換くらいで方程式が綺麗になるなら、まずそれを試すべきなのだ。数値積分は最終手段。数値積分は形式解がないかといちおう頑張った後で。形式解がみつかれば、それに越した事はないのだから。

　だからみんな、数値積分と騒ぐ前に冷静になるジャン！(^^)。ジャン！を使うと会社の同僚は「この湘南かぶれめ！」と言ってくれるのだ。もっともモノホンの湘南ボーイは、こんなジャンの使い方はしないのだ(^^;)。

 

１．定数係数1階線形偏微分方程式

 

　　

(1)

 

をまず考えてみるジャン。cは(t，x)と無関係な定数とします。これと対比させるのは、uの全微分です。

 

　　

　　(2)

 

　(2)で(t，x)の微小増分(dt，dx)は、2次元の(t，x)平面で任意の方向を向けます。つまり(t，x)から(t＋dt，x＋dx)と(dt，dx)方向へと進んだ時のuの増分duを、(2)は表します。duは(dt，dx)の方向に応じて決まるわけです。

　で、(1)と(2)で偏微分の係数を比べてみると、

 

　　

(3)

 

の方向に進めば、(1)よりuの変化はない、すなわちu＝一定という事になります。kは任意の実数です。u＝一定とは、3次元の(t，x，u)でu(t，x)のグラフを想像したとき、曲面u(t，x)の等高線という事です。(3)は等高線の微分方程式を与えます。明らかに、

 

　　

(4)

 

ですよね？。ここでＡは積分定数です。

　(4)よりuの等高線は、Ａをパラメータとして傾きcの平行な直線群をなします。Ａを一つ指定すれば傾きcの直線が一つ定まり、それ上でuの値は一定です。という事は、Ａからuの値への関数u＝u(Ａ)を定義できます。でもこれって解じゃないですか？(^^)。

　(1)を解くとは、uの(t，x)に関する依存関係を知りたいという事です。いまＡは自由に動く事ができて、(4)で表される直線群は、(t，x)平面全体をカバーします。点(t，x)はどれかのＡに該当する直線に乗ってるので、その点でのuの値はu(Ａ)です。これは解を知ってる事と同じジャン！。つまりu(Ａ)の表現を(t，x)に変えれば良いだけです。(4)より、

 

　　

(5)

 

です。ここでuは（微分可能な）任意の関数。じっさい(5)の形を(1)に代入してみると、

 

　　

(6)

 

 

となります。1階偏微分方程式の一般論より、もとの偏微分方程式を満たし、かつ任意関数を1個含むものはその偏微分方程式の一般解です。(1)の一般解が得られました。

　ざっくり言うと、以上が特性曲線法です。(4)を偏微分方程式(1)の特性曲線と言います。

 

２．座標変換を試みる

 

　ところで(t，x)座標は、人間の勝手です。数学的には、とりあえず (1)を(t，x)で表すとわかりやすかった、くらいの意味しか(t，x)を選んだ理由にはないはずです。そこで例えば図-1に示した(ξ，η)系に移ったら、事態は劇的に単純化されるのではないか、と思えませんか？(^^)。

　だってさっきu(t，x)は、一変数関数u(Ａ)だとわかったんですよ。じっさい図-1のξ軸はx－ct＝Ａで表される曲線群に平行なので、

　　

(7)

 

ですから、(t，x)を(ξ，η)に座標変換したら、(1)はηだけで表せるはずです。問題は(7)による偏微分の間の変換ですが、u＝u(ξ(t，x)，η(t，x))と考えれば、合成関数の微分公式より、

 

　　

(8)

 

です。(8)を(1)に代入すれば、

 

　　

(9)

 

になります。ξの微分が残ったので一瞬ぎょっとしますが、これで良いのです。1＋c²≠0なのでそれでわると、けっきょく∂u/∂ξ＝0という事です。「u(ξ，η)はξと無関係」です。これは望んだものじゃん。という訳で、

 

　　

(10)

 

です。(10)を説明すると、uはξと無関係なのでＣはξと無関係な積分定数、という事はξと無関係な任意のηの関数Ｃ(η)で、後は(7)を使いＣ(x－ct)。こうして全微分とか等高線うんぬんに煩わされることなく、(5)を得る事ができました。特性曲線って、とっても役立ちますよね？・・・じゃなかった、役立つジャン！(^^)。

 

２．一次元波動方程式

 

　　

(11)

 

を考えます。考えますがさっきの事に味をしめて、(11)が座標変換で綺麗にならないか？と「獲らぬ狸の皮算用」を考えてもいいですよね？(^^;)。今度は2階偏微分方程式なので、∂²u/∂ξ/∂ηあたりを目標にするのが妥当でしょう。1階の偏微分の変換の一般形は(8)の中辺なので、もう一回頑張って2階偏微分の変換を出します。積の微分公式と(8)中辺を入れ子に使うだけです。

　　

 

(12)

 

 

　ちょっと長いですけど一回でもやってみれば、同じパターンの繰り返しジャンとわかります(^^)。(12)を(11)に代入すると、

 

　　

(13)

 

 

　・・・予想を大幅に上回った長い式ですが、目的を忘れてはいけません！。目的は(13)を簡単にする事でしたよね？。その目標は∂²u/∂ξ/∂η＝0です。(13)の1段目の2項目以外が0になるように、ξとηを決めるのです。よって少なくとも、

 

　　

 

(14)

 

なので、

 

　　

(15)

 

と選べるのがわかります。(15)が成り立てば(13)の2段目は明らかに、

 

　　

(16)

 

 

・・・ジャン！、という事になります(^^)。

　ところで(15)って、(1)ですよね？。そして(15)さえ成り立てばOKなので、最も簡単なものを選べます。

 

　　

(17)

 

 

で十分です。よって(13)は(17)より、

 

　　

(18)

 

なのでc≠0とすれば、

 

　　

(19)

 

になります。じつは(18)の左辺は、(t，x)から(ξ，η)への変換のヤコビアンになっています。(19)の解は(10)でやったのと同じ手順で、

 

　　

(20)

 

なのは明らかです。ここでf₁とf₂はξとηの任意関数。(17)も偏微分方程式(11)の特性曲線と言われます（曲線じゃないけど(^^)）。(19)より(ξ，η)も、一種の等高線に沿った座標とわかると思います。∂u/∂ξの等高線はη方向、∂u/∂ηの等高線はξ方向という訳です。

　少なくとも2階線形偏微分方程式については（定数係数でなくてもOK）、系統的な特性曲線の与え方と、それを用いた「標準形」への落とし込み方がわかっています。

 

　　・物理数学－数理物理の方法と特殊関数，アルセニン，森北出版，1995年．

　　（※ 絶版かも知れない(^^;)）

 

　ちなみに(17)と(19)は、(16)に気づきさえすれば自明です。(16)と(11)は同じですよね。(16)中辺の偏微分作用素を与える座標系に移ればいいんだと。それは(8)最右辺を一回でも自力で計算してれば・・・。だから数値セキブ～ンと、そう簡単に騒ぐんじゃありません！(^^)。

 

３．（準？）バーガーズ方程式

 

　さて、

 

　　

(21)

 

です。cは適当な定数係数、νは動粘性係数としときます。

　(21)の左辺を(1)左辺と同様に考えると、(21)ではξ(1，c)方向に進むと、uの増分が、

 

　　

(22)

 

と増える事です。しかし(22)の意味は、とてもわかりやすい表現です。現象に対して素直です。なのでやはり、図-2のような座標系で考えるべきでないでしょうか？。すなわち、

 

　　

(23)

 

なる座標変換です。(8)と同様にやると、

 

　　

 (24)

 

 

なので、

　　

(25)

 

となり。望む形が得られました。(25)は、放物型と言われる2階線形偏微分方程式の標準形の一つです。別名は、熱伝導方程式とか拡散方程式とか言われます。

 

　・・・という訳で、有限要素法に持ち込むのは(25)の形で良いですよね？(^^;)。「バーガーズ方程式_2」に続きます。

 

（執筆：ddt³さん）

 

 

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