関数の連続と微分可能性に関係する問題の解答例 [微分積分]
問題
実数全体の集合Rで定義された関数fがある。
任意の実数x、yに対して、
を満たし、f(0)=0、かつ、点x=0で連続（微分可能）であるとき、fはRで連続（微分可能）であることを示せ。
【連続であることの証明】
問題の条件から
x+y=sとおくと、x=s−yだから
−y=tとおくと、
ここで、あらためて、s=x、t=yとおくと、
（２）、（３）より、
fは点y=0で連続なので、
となり、ハサミ打ちの定理より
になる。
よって、関数fはx∈Rの各点xで連続である。
（証明終）
連続性については示したので、微分可能性についてはお前らが解くように。
議論の基礎となる（４）式は上の解答（？）で既に導いてあるのだから、微分可能性を示すことはできるはずだ。
