５月２３日の記事にある問題の（２）の証明を募集！！ [お前らに質問]
５月２３日の記事にある問題の（２）の証明を募集！！
問題
（１） x=1/2でf(x)が連続であることを示せ。
（２） x=1/2以外の点xで、f(x)は連続か？
定理
fを区間Iで定義された関数、a∈Iとする。関数fは点aが連続であるための必要十分条件は、
ならば必ず
この定理（というか、ε−δ論法を使わない関数の連続の定義）を使えば、簡単に証明することができる。
その証明のイメージ図↓。
あるいは、
という関数g(x)を導入する。
f(x)が点aで連続であることとg(x)が連続であることとは同値だにゃ。
だから、g(x)が点x=1/2以外の点で不連続であることを示せば、f(x)も点x=1/2以外の点で不連続ということになる。
こうすれば、今日、紹介した次の定理を使って、f(x)（g(x)ですが）がx=1/2以外の点xで連続でないことを証明することができる。
定理３
関数f(x)が点aで連続でf(a)≠0ならば、点aの近傍でf(x)とf(a)は同符号である。
a<1/2のとき、aが有理数ならばg(a)<0、aが無理数ならばg(a)>0。
a>1/2のとき、aが有理数ならばg(a)>0、aが無理数ならばg(a)<0。
そして、
定理３から、
δ>0をものすごく小さくとれば、g(x)が点aで連続ならば、
であるすべての点xでg(x)とg(a)は同符号になる。
ここまでヒントを出したのだから、あとは自分で考え、証明の形にする。
そして、ここが重要なのだが、
その証明をこの記事のコメント欄に書き、ネムネコのもとに送信するように。
この２つの方法とは違う証明をしたヒトも、この記事のコメント欄に証明を書いてネムネコのもとに送信するにゃ。
送ってもらった証明は、正しかろうが、間違っていようが、はたまた、証明に不備があろうが、ネムネコが責任を持って清書し、このブログで紹介するにゃ。
第６回 関数の連続 [微分積分]
第６回 関数の連続
点aの近傍で定義されている関数f(x)が
であるとき、関数f(x)は点aで連続であるという。
すなわち、
f(x)が点aで連続であるとは、
任意の正数εに対して、ある正数δが存在して、
であることである。
論理記号を用いて、より厳密に書くと、
したがって、f(x)が点aで連続でない、すなわち、不連続であるとは、（３）を否定すればよく、
すなわち、
ある正数εが存在して、任意の正数δに対して、
を満たすxが存在することである。
問１ x=0で次の関数f(x)は連続か。
【解】
任意のε>0に対して、δ=εとすると、
ならば
よって、f(x)はx=0で連続である。
（解答終）
【別解】
よって、（ハサミ打ちの定理より）
のとき、
したがって、f(x)はx=0で連続である。
（別解終）
問２ x=0で次の関数f(x)は連続か。
【解】
とすると、
δ>0をどんなに小さくしても、
となる
が
に存在し、このとき
よって、f(x)はx=0で連続でない。
（解答終）
問題
（１） x=1/2でf(x)が連続であることを示せ。
（２） x=1/2以外の点xで、f(x)は連続か？
また、
であるとき、f(x)は点aで右連続であるという。
これをε−δ論法で表すと、
任意の正数εに対して、ある正数δが存在して
が成り立つことである。
さらに、
であるとき、f(x)は点aで左連続という。
これをε−δ論法で表すと、
任意の正数εに対して、ある正数δが存在して
が成り立つことである。
定理１ （連続であるための必要十分条件）
関数f(x)が点aで連続である必要十分条件は、f(x)が点aで右連続かつ左連続であることである。
すなわち、
【証明】
f(x)が点aで連続であるとすると、任意の正数εに対して、ある正数δが存在して、
よって、
したがって、f(x)が点aで連続ならば、f(x)は点aで右連続かつ左連続である。
逆に、f(x)が点aで右連続、かつ、左連続であるとすると、
任意のε>0に対して、あるδ₁>0、δ₂>0があって、
したがって、
にとると、
また、x=aのとき、任意の正数εに対して
が成り立つので、
（証明終）
定理２
関数f(x)、g(x)が点aで連続、α、βを実数とすると、
も点aで連続である。
【証明】
基本的に関数の極限の公式の証明と同じなので、αf(x)+βg(x)が点aで連続であることだけを示す。
α=0、β=0のときは明らかなので、αとβがともに0でないとする。
任意の正数εに対し、
とおくと、ε'>0である。
f(x)、g(x)は点aで連続なので、任意の正数ε'に対して、あるδ₁>0、δ₂>0があって、
したがって、
とおくと、
任意のε>0に対して、δ>0があって、
ならば、
よって、αf(x)+βg(x)は連続である。
（証明終）
定理３
関数f(x)が点aで連続でf(a)≠0ならば、点aの近傍でf(x)とf(a)は同符号である。
【証明】
（ⅰ） f(a)>0の場合
f(x)は点aで連続なので、
任意のε>0に対して、あるδ>0が存在して、
ε>0は任意なので、
とし、これに応じてδ>0を定めると、であるすべてのxについて
（ⅱ） f(a)<0の場合
をとし、δ>0を定めると、であるすべてのxについて
よって、証明された。
（証明終）
f(a)<0の場合は、（ⅰ）の結果を使い、次のように証明してもよいでしょう。
（ⅱ’） f(a)<0の場合
f(x)は点aで連続なのでg(x)=−f(x)も点aで連続で、g(a)=−f(a)>0。
よって、（ⅰ）より、g(x)は点aの近傍でg(x)>0。
したがって、f(x)は点aの近傍でf(x)=−g(x)<0である。
定理３は、色々な局面で使用する重要な定理なので、覚えておいたほうがよい。
