５月２３日の記事にある問題の（２）の証明を募集！！

５月２３日の記事にある問題の（２）の証明を募集！！

 

問題

　

（１）　x=1/2でf(x)が連続であることを示せ。

（２）　x=1/2以外の点xで、f(x)は連続か？

 

定理

fを区間Iで定義された関数、a∈Iとする。関数fは点aが連続であるための必要十分条件は、 ならば必ず

 

この定理（というか、ε−δ論法を使わない関数の連続の定義）を使えば、簡単に証明することができる。

その証明のイメージ図↓。

 

 

あるいは、

　　

という関数g(x)を導入する。

f(x)が点aで連続であることとg(x)が連続であることとは同値だにゃ。

だから、g(x)が点x=1/2以外の点で不連続であることを示せば、f(x)も点x=1/2以外の点で不連続ということになる。

 

こうすれば、今日、紹介した次の定理を使って、f(x)（g(x)ですが）がx=1/2以外の点xで連続でないことを証明することができる。

 

定理３

関数f(x)が点aで連続でf(a)≠0ならば、点aの近傍でf(x)とf(a)は同符号である。

 

a<1/2のとき、aが有理数ならばg(a)<0、aが無理数ならばg(a)>0。

a>1/2のとき、aが有理数ならばg(a)>0、aが無理数ならばg(a)<0。

そして、

定理３から、

δ>0をものすごく小さくとれば、g(x)が点aで連続ならば、であるすべての点xでg(x)とg(a)は同符号になる。

 

ここまでヒントを出したのだから、あとは自分で考え、証明の形にする。

そして、ここが重要なのだが、

その証明をこの記事のコメント欄に書き、ネムネコのもとに送信するように。

 

この２つの方法とは違う証明をしたヒトも、この記事のコメント欄に証明を書いてネムネコのもとに送信するにゃ。

 

送ってもらった証明は、正しかろうが、間違っていようが、はたまた、証明に不備があろうが、ネムネコが責任を持って清書し、このブログで紹介するにゃ。

 

言っておくが、ここまで書いた微分積分の記事で紹介した範囲内で証明しろよな。