第１０回 導関数

第１０回　導関数

 

関数f(x)が開区間Iの各点xで微分可能なとき、f(x)はIで微分可能であるといい、対応x→f'(x)によって定められた関数f'(x)をf(x)の導関数という。

すなわち、

　　　　

f(x)の導関数f'(x)を求めることを微分するという。

 

（１）以外に、関数y=f(x)に対して、その導関数を

　　

などで表す。

 

関数f(x)が開区間(a,b)で微分可能で、かつ、点aで右側微分可能で点bで左側微分可能なとき、関数f(x)は閉区間[a,b]で微分可能であるという。

 

問１　次の関数の導関数を求めよ。

【解】

（１）　f(x)=cとおくと、

　　

 

（２）　f(x)=xとおくと

　　

　

（３）　f(x)=x²とおくと、

　　

 

（４）　f(x)=x³とおくと

　　

（解答終）

 

問１の（２）〜（４）から、nを自然数とするとき、

　　

が成り立つことが予想される。

 

問２　次のことが成立することを示せ。

　　

【解】

とおくと、２項定理より

　　

（解答終）

x⁰=1なので、定数関数f(x)=1を形式的にf(x)=x⁰と考え、n=0のときも①が成り立つとすると、

　　

となるので、

　　

と拡張することができる。

 

 

問３　次の導関数を求めよ。ただし、x≠0とする。

【解】

（解答終）

 

なので、n=−mとおくと、問３の（３）は、

　　

となるので、nが負の整数のときにも拡張することができて、結果、次の公式を得る。

 

　　

 

問４　次の関数を微分せよ。

【解答】

（解答終）

 

 

問５　次の関数を微分せよ。

【解】

（解答終）

 

問５から、三角関数に関する次の微分公式が得られた。

　　

 

なお、問５の解答では、三角関数の極限

　　

を使っていることに注意。

 

 

問６　次の関数を微分せよ。

【解】

（解答終）

 

問５の解答では、

　　

という極限の公式を使っていることに注意。

 

　　

を底にした対数、すなわち、自然対数をで表すと、指数関数、対数関数の導関数は次のようになる。