第１７回 コーシーの平均値の定理とロピタルの定理 [微分積分]
第１７回 コーシーの平均値の定理とロピタルの定理
定理１ コーシーの平均値の定理
f(x)、g(x)が閉区間[a,b]で連続、開区間(a,b)で微分可能、さらにg'(x)≠0ならば
であるcが存在する。
【証明】
とおき、
とする。
h(x)は、[a,b]で連続、(a,b)で微分可能、かつ、h(a)=h(b)=0。
ロールの定理より
となるcが存在する。
g'(x)はa<x<bでg'(x)≠0だから、g'(c)≠0。
よって、
である。
（証明終わり）
このコーシーの平均値の定理を用いると、
や
の不定形の極限を求める時に用いられるロピタルの定理を証明することができる。
定理２ L'Hospital（ロピタル）の定理
関数f(x)、g(x)は、点aを除く点aの近傍で微分可能で、かつ、g’(x)≠0であるとする。
このとき、
で、さらに
が存在すれば、
である。
【証明】
だから、
と考えてよい。
x>aのとき、閉区間[a,x]とすればg'(x)≠0だからコーシーの平均値の定理の条件を満たすので、
となるa<c<xが存在する。
x→a+0のときc→a+0なので、
x<aのとき、閉区間[x,a]とすればg'(x)≠0だからコーシーの平均値の定理の条件を満たすので、
となるx<c<aが存在する。
x→a−0のときc→a−0なので、
よって、
（証明終）
の場合、x=1/tとおくと、t→0+0に対して、
となるので、aが±∞の場合についても定理２を用いることができる。
また、
の場合の証明の概要は次のとおり。
ある値x≠aを決めたとき、yをさらにaに近くとれば、g(y)は非常に大きくなるから、
とすることができる。
コーシーの平均値の定理から、このxとyに関して、
となるcがxとyの間に存在する。
よって、
ここで、x→aの場合を考えると、y→a、c→aだから
したがって、のとき、
が存在すれば、
（注意）
正しくは、
や
問１ ロピタルの定理を用いて、次の極限を求めよ。
【解答（？）】
（１） 0/0の形の不定形の極限なので、ロピタルの定理より
（２） 0/0の形の不定形の極限なので、ロピタルの定理より
（３） 0/0の形の不定形の極限なので、、ロピタルの定理より
（４） 0/0の形の不定形の極限なので、ロピタルの定理より
（５）
と考えると、この極限は∞/∞の不定形の極限になり、ロピタルの定理を使うことができる。
（解答終）
問２ 次の極限値を求めよ。
【解】
（１） 0/0の形なので、ロピタルの定理より
（２） ∞/∞の極限なので、ロピタルの定理より
（解答終）
問題 f''(x)が連続、f''(a)≠0のとき、平均値の定理より
となるθは、
であることを示せ。
【解】
平均値の定理より
よって、
また、
これを①に代入すると、
さて、
f''(x)は連続だから、
よって、
（解答終）
2019-06-14 12:00
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