第２４回 テーラー展開

第２４回　テーラー展開

 

 

定理　（テーラーの定理）

f(x)がa、bを含む区間Iでn回微分可能ならば、aとbの間の適当なcを選べば

　　

が成り立つ。

【証明】

　　

とし、F(a)=f(b)となるように定数Kを定める。

すると、F(a)=F(b)=f(b)となり、F(x)はロールの定理の条件を満たす。

F(x)を微分すると、

　　

したがって、ロールの定理より

　　

を満たすcがaとbの間に存在し、b≠cだから

　　

である。

ゆえに、

　　

（証明終）

 

n=1とすると、平均値の定理が得られる。

また、

b=x、とおき、（１）を書き換えると、

　　

ここで、はラグランジュの剰余項である。

 

関数f(x)が級ならば、すべてのnについて（２）が成り立つ。よって、

　　

となる点では、

　　

となる。この級数をf(x)のx=aまわりのテーラー級数という。

特に、a=0としたときのテーラー級数

　　

をマクローリン級数という。

 

問１　次の関数をマクローリン展開せよ。

【解】

（１）　のn次導関数は

　　

だから、

　　

 

（２）　のn次導関数は

　　

だから、

　　

 

（３）　とおくと、

　　

だから、

　　

（解答終）

 

　　

 

であることに注意。

 

ここで、さり気なく、のマクローリン級数の収束の証明をせずに、次の公式を提示する。

 

 

無限級数、べき級数のところで、無限級数の収束判定法を紹介するので、それまで保留ということで。

 

 

問２　次の関数をマクローリン展開せよ。

【解】

（１）　f(x)=sin xのn次導関数は

　　

だから、

　　

したがって、

　　

 

（２）　f(x)=cos xのn次導関数は

　　

だから、

　　

よって、

　　

（解答終）

 

（注意）

in x、cos xのマクローリン展開については

　　

とするものもあるので注意。

 

 

問２の（１）、（２）の剰余項に注目すると、それぞれ、

　　

なので、マクローリン級数は収束し、