お前らに質問（６月２７日 微分）

お前らに質問（６月２７日　微分）

 

 

問題　次の関数f(x)があるとする。

　　

f(x)はx=0で微分可能か？

 

結論から言えば、x=0で微分可能で、f'(0)=0。

微分可能であることは、右のグラフを見てもらえればよくわかるだろう。

だから、

　　

である。

 

では、微分の定義に則して、f(x)がx=0で微分可能であることを示してもらいましょうか。

 

まぁ、要するに、

　　

を求めてもらいましょうか、という問題だにゃ。

 

この極限は0/0の不定形だから、ロピタルの定理より

　　

 

などとやったら、ぬっ殺す！！ので、この点はくれぐれも留意すること。

 

 

言いつけを背いた奴は、こうだからにゃ。

 

 

さらに余力のある奴は、次のことを証明するにゃ。

 

追加問題

f(x)は偶関数で、x=0で微分可能である。このとき、f'(0)=0であることを示せ。

 

問題の関数

　　

は、x≠0のとき、

　　

となっていので偶関数、かつ、x=0で微分可能だから、x=0における微分係数f'(0)=0になっているにゃ。

 

言っておきますが、

偶関数だからf(x)=f(−x)である。両辺を微分すると、

　　

両辺にx=0を代入すると、

　　

は、追加問題の解答にならないにゃ。

 

なぜ、これがダメなのか、わかるかい？

 

ところで、

f(x)が微分可能な関数ならば、⑨から

　　

という関係が得られるので、f(x)が偶関数ならば、その導関数f'(x)は奇関数になる。

また、f(x)が奇関数のとき、

　　

だから、この両辺を微分すると、

　　

となり、その導関数f'(x)は偶関数になる。