お前らに確率の問題！！ [お前らに質問]
お前らに確率の問題！！
問題
豊島の対羽生の勝率を2/3とする。
そして、豊島が羽生が持つタイトル◯◯戦の挑戦手合７番勝負することになった。
このとき、豊島が羽生◯◯からタイトルを奪取する確率を求めよ。
（ヒント）
豊島が４連勝でタイトルを奪取する確率P₀は、
４勝１敗でタイトルを奪取するときは、４局目が終了した時点で豊島が３勝１敗で、５局目に豊島が勝つ場合なので、この確率をP₁とすると、
4勝２敗でタイトルを奪取するときは、５局目が終了した時点で豊島が３勝２敗で、６局目に豊島が勝つ場合なので、この確率をP₂とすると、
４勝３敗でタイトルを奪取するときは・・・、この確率をP₃とすると、
・・・・
よって、豊島がタイトルを奪取する確率は
（参考） 独立試行の確率
１回の施行で事象Aが起きる確率がpのとき、
n回の独立試行中で事象Aがr回起きる確率
は
である。
ちなみに、４勝１敗で、豊島がタイトルを獲得する確率は、
ではなく、
だにゃ。
お前らこの確率を計算して、ネムネコにその値を教えるにゃ。
言っておくけれど、（ヒント）は間違っているかもしれないケロよ(^^)
羽生がタイトルを防衛できる確率は、たぶん、３割を割っていると思うケロよ。
だから、羽生ファンは、「豊島、竜王戦の挑戦者決定トーナメントに負けろ」と呪いをかけるしかないと思うにゃ。豊島が挑戦者になってしまったら、おそらく、羽生は２勝４敗で竜王位を失ってしまう。
お前ら、ddt³さん提出の次の問題（７月１８日）を解くにゃ [お前らに質問]
ddt³さんから次のような質問をいただいた。
微分方程式を差分法で解くとすると（ローカルには選点法とも言いますが）、問題の関数f(x)の定義域Ｘをn等分割でもして、分割点（選点）だけでは微分方程式を満たすような条件を付ける。分割を無限に細かくすれば、「いつかはＸ上の全ての点を取り尽くせるはず」だから、そうのようにして解いたf(x)の離散化近似g(x)の離散化極限は（分割を無限に細かくする）、f(x)に収束する。
本当ですか？(^^)。
常微分方程式の場合、一般に、xの分割幅Δxを細かくすればするほど打切誤差が小さくなり、Δx→0のとき、差分方程式（の解）は元の微分方程式（の解）に収束する。
なのですが、偏微分方程式の場合、Δx→0、Δt→0のとき、差分方程式の解は、元の微分方程式
の解とは違うものに収束することがある。
のみならず、放物型の偏微分方程式から作った差分方程式が、Δx→0、Δt→0のとき、放物型の偏微分方程式が双曲型の偏微分方程式に変わってしまうなど 偏微分方程式の型が変わってしまうこともあるんだケロ。
ここ
http://spinda2.blog48.fc2.com/blog-entry-345.html
の定義に従うと、
差分スキームの適合性とは、
離散化間隔を0に近づけたときに、差分方程式が元の微分方程式に一致する性質
のことを言います。
つまり、「その差分スキームは本当に元の微分方程式を近似していますか??」ということ。
収束性の定義とLaxの適合定理はコチラ↓
http://spinda2.blog48.fc2.com/blog-entry-346.html
こういうことが、偏微分方程式の差分法を用いた数値解法では起きることがある。
そして、諸々の理由（Δx、Δtが有限ならば精度よく、しかも、安定的に速く計算できるなどの理由）から、適合性（consistency）を持たない差分スキームが実際の数値計算で使われることがある。
ただ、ddt³さんのこの質問は、次の文を読むと、差分スキームの適合性に関する質問ではないようだにゃ。
上記状況を一般化・理想化すると、定義域Ｘ上の連続関数f(x)の離散化近似として、Ｘの等分割点xjでg(xj)＝f(xj）となるようにg(x)を定める。分割を無限に細かくした時、gはfに収束する。
反論：
定義域Ｘの等分割点の離散化極限とは、Ｘ上の有理数をシミュレートしたのと同等である。よってg(x)は、Ｘの部分集合である、Ｘに属する有理数全体の集合Ａの要素xでしかg(x)＝f(x)とならないはずである。
しかし良く知られているように、対角線論法により、Ａに属さないＸの要素はＡの要素よりも無限に多い。Ａがカスになるくらいに無限に多い！。
そうするとg(x)の離散化極限は、Ｘのほとんど全ての点で、いたるところg(x)≠f(x)となってはいないのか？。「いつまでたってもＸ上の全ての点を取り尽くせない！」から。
これで君は、連続関数を近似できると思うのか？。出来ると言うなら、理由を言うてみいっ！。
Δx→0のとき、離散化近似の極限として得られる極限関数g(x)がXで連続、そして、Xに含まれる有理数の全ての点でf(x)=g(x)ならば、くらいの条件があれば、Xでf=gになるでしょうね。
ということで、上の主張の根拠になる次の問題、補題、定理（？）をお前ら示すにゃ。
問題 ２つの連続関数f(x)、g(x)が有理数の点xに対してf(x)=g(x)であるならば、すべての実数xに対してf(x)=g(x)である。
このことを示せ。
ヒント１ 背理法を使う。
ヒント２ 「h(x)が点x=aで連続かつh(a)≠0ならば、aの十分近くの点ではf(x)とf(a)は同符号である」
ヒント３ ある無理数の点aでf(a)≠g(a)ならば、h(a)=f(a)−g(a)≠0で、かつ、f(x)とg(x)はx=aで連続だからh(x)もx=aで連続。よって、ヒント２からaの十分近くのすべての点x（aの近傍）でh(x)≠0になる。しかし、無理数aの近傍をどんなに小さくしても、その近傍内には有理数の点xが必ず存在し（これを有理数の稠密性という）、その点xでh(x)は・・・となり、矛盾が・・・。
ここまでヒントを出したのだから、お前ら、この証明を「ちゃんとやれ！」。
なお、ヒント２の定理（？）は、ε-δ論法を用いて、次のように証明するといい。
【証明例】
h(x)はx=aで連続だから、任意のε>0に対して、あるδ>0が存在して、
である。
h(a)>0のとき、
とおくと、あるδ>0があって、｜x−a｜<δであるすべてのxに対して
h(a)<0のとき、
とおくと、あるδ>0があって、｜x−a｜<δであるすべてのxに対して
よって、証明された。
（証明終）
ヒント２の定理（？）は、微分積分、解析でよく使う重要なものなので、覚えておくといい。
連続という強い条件が入ると、有理数の濃度と無理数（実数）の濃度の違いなど吹き飛んでしまうにゃ。
今日のアニソン、「りゅうおうのおしごと！」から『コレカラ』 [今日のアニソン]
【速報 JUST IN 】棋聖戦 羽生敗れる 複数タイトル保持が不在に #nhk_news https://t.co/Kb0bE58yuS
— NHKニュース (@nhk_news) 2018年7月17日
２０１６年 ３０勝２５敗（勝率54％）
２０１７年 ２８勝２５敗（勝率５４％）
２０１８年 １３勝１２敗（勝率５２％）
――豊島が羽生がもつ竜王位の挑戦者になる可能性がある。豊島vs羽生の７番勝負ならば、最近の両者の対戦成績と調子からすると、豊島はかなりの確率で羽生に４つは勝てる！！――
羽生のタイトル獲得数は９９で止まり、２度とタイトル戦に登場できないかもしれない。
２０１８年 ２８勝１５敗（勝率６５％）
２０１７年 ３６勝１３敗（勝率７３％）
２０１６年 ４０勝２０敗（勝率６６％）
階数低減法 [微分方程式の解法]
階数低減法
次の２階線形非同次方程式があるとする。
（１）のR(x)=0とした同次方程式
の解の１つy₁が知られているとき、y=y₁u(x)とおくと、
となるので、（１）は
になる。
ここで、
とおくと、
となり、微分方程式の階数を１減らすことができる。
この方法を階数低減法という。
特に、P(x)=a、Q(x)=bと定数であるとき、（４）は
となる。
問１ 
が
の解であることを利用して、
を解け。
【解】
とおくと、
これを微分方程式
に代入すると、
ここでv=u'とおくと、
両辺に
をかけると、
よって
だから、
（解答終）
問２ 階数低減法を用いて次の微分方程式を解け。
【解】
（１） 
とおくと、
これをy''−3y'+2y=0に代入すると、
v=u'とおくと
よって、
だから、
（２） とおくと、微分方程式
は
ここでv=u'とおくと、
両辺に
をかけると、
v=u'だから
だから、
（解答終）
問題 ２階線形同次方程式
の１つの解がy₁であるとき、もう１つの解が
で与えられることを示せ。
【解】
y₂=y₁u(x)とおくと、
これをy''+P(x)y'+Q(x)y=0に代入すると、
v=u'とおくと、
y₁≠0のとき
両辺に
をかけると、
v=u'だから、
よって、
（解答終）
