お前ら、ddt³さん提出の次の問題（７月１８日）を解くにゃ

ddt³さんから次のような質問をいただいた。

 

　微分方程式を差分法で解くとすると（ローカルには選点法とも言いますが）、問題の関数f(x)の定義域Ｘをn等分割でもして、分割点（選点）だけでは微分方程式を満たすような条件を付ける。分割を無限に細かくすれば、「いつかはＸ上の全ての点を取り尽くせるはず」だから、そうのようにして解いたf(x)の離散化近似g(x)の離散化極限は（分割を無限に細かくする）、f(x)に収束する。

　本当ですか？(^^)。

 

常微分方程式の場合、一般に、xの分割幅Δxを細かくすればするほど打切誤差が小さくなり、Δx→0のとき、差分方程式（の解）は元の微分方程式（の解）に収束する。

なのですが、偏微分方程式の場合、Δx→0、Δt→0のとき、差分方程式の解は、元の微分方程式

　　

の解とは違うものに収束することがある。

のみならず、放物型の偏微分方程式から作った差分方程式が、Δx→0、Δt→0のとき、放物型の偏微分方程式が双曲型の偏微分方程式に変わってしまうなど 偏微分方程式の型が変わってしまうこともあるんだケロ。

ここ

http://spinda2.blog48.fc2.com/blog-entry-345.html

の定義に従うと、

差分スキームの適合性とは、

離散化間隔を0に近づけたときに、差分方程式が元の微分方程式に一致する性質

のことを言います。

つまり、「その差分スキームは本当に元の微分方程式を近似していますか??」ということ。

 

収束性の定義とLaxの適合定理はコチラ↓

http://spinda2.blog48.fc2.com/blog-entry-346.html

 

こういうことが、偏微分方程式の差分法を用いた数値解法では起きることがある。

そして、諸々の理由（Δx、Δtが有限ならば精度よく、しかも、安定的に速く計算できるなどの理由）から、適合性（consistency）を持たない差分スキームが実際の数値計算で使われることがある。

 

ただ、ddt³さんのこの質問は、次の文を読むと、差分スキームの適合性に関する質問ではないようだにゃ。

 

　上記状況を一般化・理想化すると、定義域Ｘ上の連続関数f(x)の離散化近似として、Ｘの等分割点xjでg(xj)＝f(xj）となるようにg(x)を定める。分割を無限に細かくした時、gはfに収束する。

 

反論：

　定義域Ｘの等分割点の離散化極限とは、Ｘ上の有理数をシミュレートしたのと同等である。よってg(x)は、Ｘの部分集合である、Ｘに属する有理数全体の集合Ａの要素xでしかg(x)＝f(x)とならないはずである。

　しかし良く知られているように、対角線論法により、Ａに属さないＸの要素はＡの要素よりも無限に多い。Ａがカスになるくらいに無限に多い！。

　そうするとg(x)の離散化極限は、Ｘのほとんど全ての点で、いたるところg(x)≠f(x)となってはいないのか？。「いつまでたってもＸ上の全ての点を取り尽くせない！」から。

 

　これで君は、連続関数を近似できると思うのか？。出来ると言うなら、理由を言うてみいっ！。

 

Δx→0のとき、離散化近似の極限として得られる極限関数g(x)がXで連続、そして、Xに含まれる有理数の全ての点でf(x)=g(x)ならば、くらいの条件があれば、Xでf=gになるでしょうね。

 

ということで、上の主張の根拠になる次の問題、補題、定理（？）をお前ら示すにゃ。

 

問題　２つの連続関数f(x)、g(x)が有理数の点xに対してf(x)=g(x)であるならば、すべての実数xに対してf(x)=g(x)である。

このことを示せ。

 

 

ヒント１　背理法を使う。

ヒント２　「h(x)が点x=aで連続かつh(a)≠0ならば、aの十分近くの点ではf(x)とf(a)は同符号である」

ヒント３　ある無理数の点aでf(a)≠g(a)ならば、h(a)=f(a)−g(a)≠0で、かつ、f(x)とg(x)はx=aで連続だからh(x)もx=aで連続。よって、ヒント２からaの十分近くのすべての点x（aの近傍）でh(x)≠0になる。しかし、無理数aの近傍をどんなに小さくしても、その近傍内には有理数の点xが必ず存在し（これを有理数の稠密性という）、その点xでh(x)は・・・となり、矛盾が・・・。

 

 

 

ここまでヒントを出したのだから、お前ら、この証明を「ちゃんとやれ！」。

 

なお、ヒント２の定理（？）は、ε-δ論法を用いて、次のように証明するといい。

 

【証明例】

h(x)はx=aで連続だから、任意のε>0に対して、あるδ>0が存在して、

　　

である。

h(a)>0のとき、

　　

とおくと、あるδ>0があって、｜x−a｜<δであるすべてのxに対して

　　

h(a)<0のとき、

　　

とおくと、あるδ>0があって、｜x−a｜<δであるすべてのxに対して

　　

よって、証明された。

（証明終）

 

ヒント２の定理（？）は、微分積分、解析でよく使う重要なものなので、覚えておくといい。

 

 連続という強い条件が入ると、有理数の濃度と無理数（実数）の濃度の違いなど吹き飛んでしまうにゃ。

 

コメント 2

　ddt^3です。いやぁ～、一瞬で回答が付くとは思わなかった(^^;)。

　普通にやっても、さっくり行けそうですね。方針さえ見失分ければ。そして「・・・くらいの条件があれば、Xでf=gになるでしょうね」という信念があれば(^^)。

　位相をかじってると次のようになります。ただし我慢して定義の連続を読む必要はありますが(^^;)、頭の体操です。


［分離空間の定義］
　Ｘを位相空間とする（位相空間の定義を読む）。
　x，y∈Ｘかつx≠yについて、共通分が空となるxの近傍とyの近傍がある（位相空間の近傍の定義を読む）。


　Ｘを集合，x∈Ｘとして、(x，x)の形の点全体の集合を、積集合Ｘ×Ｘの対角集合Δと言います。

［定理-1］
　Ｘが分離位相　⇔　Ｘ×ＸでΔは閉。
［証明］
　省略。でも定義だけから示せます。

　必要な定義：
　　分離空間の定義。位相空間の開集合，閉集合，近傍の定義。
［証明終］


［定理-2］
　Ｘを位相空間，Ｙを分離空間、f，g：Ｘ→Ｙかつ連続とする。f(x)＝g(x)となるxの全体Ｄは、Ｘで閉。
［証明］
　h：Ｘ→Ｙ×Ｙで、x→(f(x)，g(x))の形のものを考える。
　f，g：Ｘ→Ｙは連続だから、hも連続（積写像と連続写像の定義とそれから導かれる性質）。
　Ｄは、Ｙ×Ｙの対角集合Δのhによる逆像に一致する。Δは［定理-1］より閉集合なので、連続関数の性質からＤは閉。

　※もちろんＥ＝{(p，q)｜f(x)＝g(x)となる(p，q)＝(f(x)，g(x))}は、一般にΔと一致しません。しかしhの定義から、

　　h(Ｄ)＝Ｅ∩Δ⊂Δ

になるので、特にＤの定義から、

　　Ｄ＝h^(-1)(Ｅ∩Δ)＝h^(-1)(Δ)

です。本当は証明すべきですが。
［証明終］


［系-1（等式延長の原理）］
　f，g：Ｘ→Ｙかつ連続、Ｘを位相空間，Ｙを分離空間とする。
　Ａ⊂ＸがＸで密とすれば、Ａ上でf＝gならＸでf＝g。
［証明］
　1) Ｄを［定理-2］の集合とすれば、Ａ⊂Ｄ（逆像の定義と性質）。またＤは閉集合。

　密空間（稠密空間）の定義から、Ａの閉包をＡ’として、
　2) 1)からＡ’⊂Ｄ。Ｄが閉である事と閉集合の定義。
　3) Ａ’＝Ｘ。密空間の定義。

　2)，3)より、Ｄ⊂Ｘ＝Ａ’⊂Ｄなので、Ｄ＝Ｘ。
［証明終］


　・・・以上はブルバキに書いてあることの引き写しですが、これらは目くらましです(^^)。

［設問］
　以上に述べた諸般の事情を考慮して、またネコ先生の仰った事も考慮して、人間が現実的に扱える写像f：Ｘ→Ｙの範囲は、どの程度と考えるか？。発想は自由です(^^)。

　ここに写像fとは、ＸとＹを集合として、各x∈Ｘに対し、y∈Ｙが一つだけ対応する事。この時、y＝f(x)と書く。

by ddtddtddt (2018-07-20 03:55) 

［追伸］
　自然数，整数，有理数，実数，複素数といった普通の数体系の集合、Ｎ，Ｚ，Ｑ，Ｒ，Ｃはみな分離位相空間である事を（すぐに）証明できます。分離位相空間は位相空間の特殊なタイプなので、これらはみな位相空間です。
　よって普通の連続関数、f：Ｒ→ＲやＢ⊂Ｒに対するg：Ｂ→Ｒなんかはみな、先の定理の条件を満たします。


　・・・ハードルが高いので、いまゴールドスタインの古典力学を読み返してます。ゴールドスタインに比べるとランダウ先生の力学は、ある意味で超スッキリだなぁ～(^^;)。
by ddtddtddt (2018-07-20 04:08)