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物理的な微分方程式の大学入試問題 [高校の微分積分]
物理的な微分方程式の大学入試問題
ねこ騙し数学では、物理学の力学の話題で盛り上がっているので、大昔の大学入試で出題された、微分方程式の力学的な問題を紹介することにする。
問題 x軸上を運動している点があって、時刻tにおける店の座標zが
（１） 運動の速度を
とすると、v²+ω²x²は一定であることを示せ。
（２） 微分方程式①の解をx=f(t)とするとき、f(0)=a、f'(0)=bとなるような関数f(t)があるとすれば、それはただ１つであることを示せ。
（３） 任意の実数A、Bに対して
が①の解となるように、定数kの値を定めよ。また、それを利用して、f(0)=a、f'(0)=bとなるような運動の式x=f(t)を定めよ。
【解答例】
（１）
これを①式に代入すると、
よって、v²+ω²x²は一定である。
（２） x₁=f₁(t)、x₂=f₂(t)を①の解とすると、
となるので、
も微分方程式①の解となり、
（１）より、x²+ω²x²は一定だから、
f(t)=f₁(t)−f₂(t)=0だから、f₁(t)=f₂(t)となり、解は１つである。
（３） 
とすると、
だから、k=ωとすれば、
を満足する。
そこで、
とおくと、
問題の条件より、
だから、
よって、ω≠0のとき
ω=0のとき、微分方程式①は
となり、f(0)=a、f'(0)=bとなるようにC₁、C₂を定めると、C₁=b、C₂=a。
よって、
（解答終）
この問題の（１）は、物理では次のように解くのが主流派。
【（１）の別解】
運動方程式
の両辺にvをかけると、
（別解終）
運動方程式の両辺に速度vをかけて、その積分を求める操作を、物理のほうではエネルギー積分と呼んだりする。
――数学的にいうと、
は、運動方程式①の積分因子――
そして、（１）は、（力学的）エネルギー保存則を表している。
というのは、⑨の両辺にm/2（mは質点の質量）をかけると、
となるからだにゃ。
上の式の第１項の
は運動エネルギー、第２項の
は（１次元の）調和振動子の位置エネルギー（ポテンシャルエネルギー）を表していて、上の式は運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和は一定、時刻tによらず不変であること、つまり、（力学的）エネルギーが保存されることを表している。
そして、（２）は、エネルギー保存則を用いて、微分方程式①の初期値問題の解が１つに定まることを示している。
この大学入試問題は、範囲逸脱の感が強くて、大学入試問題としてはどうかという気がするけれど、奥深い内容を含んだ問題である。
また、バネ定数kのバネに質量mの物体がつけられ、単振動するとき、運動方程式は
となるので、
この方程式と①を比較することにより、
であることがわかる。このωを角速度、角振動数という。
問題の（３）より、初期条件x(0)=a、x'(0)=bを満たす解は
であり、これは2π/ωを周期にもつ周期関数。
したがって、微分方程式②の解、すなわち、バネ定数kのバネの単振動（ばね振り子）の周期Tは
であることがわかる。
