物理的な微分方程式の大学入試問題

物理的な微分方程式の大学入試問題

 

 

ねこ騙し数学では、物理学の力学の話題で盛り上がっているので、大昔の大学入試で出題された、微分方程式の力学的な問題を紹介することにする。

 

問題　x軸上を運動している点があって、時刻tにおける店の座標zが

　　

（１）　運動の速度をとすると、v²+ω²x²は一定であることを示せ。

（２）　微分方程式①の解をx=f(t)とするとき、f(0)=a、f'(0)=bとなるような関数f(t)があるとすれば、それはただ１つであることを示せ。

（３）　任意の実数A、Bに対して

　　

が①の解となるように、定数kの値を定めよ。また、それを利用して、f(0)=a、f'(0)=bとなるような運動の式x=f(t)を定めよ。

【解答例】

（１）

　　　　

これを①式に代入すると、

　　

よって、v²+ω²x²は一定である。

 

（２）　x₁=f₁(t)、x₂=f₂(t)を①の解とすると、

　　

となるので、も微分方程式①の解となり、

　　

（１）より、x²+ω²x²は一定だから、

　　

f(t)=f₁(t)−f₂(t)=0だから、f₁(t)=f₂(t)となり、解は１つである。

 

（３）　とすると、

　　

だから、k=ωとすれば、

　　

を満足する。

そこで、とおくと、

問題の条件より、だから、

　　

よって、ω≠0のとき

　　

ω=0のとき、微分方程式①は

　　

となり、f(0)=a、f'(0)=bとなるようにC₁、C₂を定めると、C₁=b、C₂=a。

よって、

　　

（解答終）

 

この問題の（１）は、物理では次のように解くのが主流派。

 

【（１）の別解】

運動方程式

　　

の両辺にvをかけると、

　　

（別解終）

 

運動方程式の両辺に速度vをかけて、その積分を求める操作を、物理のほうではエネルギー積分と呼んだりする。

　――数学的にいうと、は、運動方程式①の積分因子――

そして、（１）は、（力学的）エネルギー保存則を表している。

というのは、⑨の両辺にm/2（mは質点の質量）をかけると、

　　

となるからだにゃ。

上の式の第１項のは運動エネルギー、第２項のは（１次元の）調和振動子の位置エネルギー（ポテンシャルエネルギー）を表していて、上の式は運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和は一定、時刻tによらず不変であること、つまり、（力学的）エネルギーが保存されることを表している。

 

そして、（２）は、エネルギー保存則を用いて、微分方程式①の初期値問題の解が１つに定まることを示している。

 

この大学入試問題は、範囲逸脱の感が強くて、大学入試問題としてはどうかという気がするけれど、奥深い内容を含んだ問題である。

 

 

 

また、バネ定数kのバネに質量mの物体がつけられ、単振動するとき、運動方程式は

　　

となるので、

　　

この方程式と①を比較することにより、

　　

であることがわかる。このωを角速度、角振動数という。

問題の（３）より、初期条件x(0)=a、x'(0)=bを満たす解は

　　

であり、これは2π/ωを周期にもつ周期関数。

したがって、微分方程式②の解、すなわち、バネ定数kのバネの単振動（ばね振り子）の周期Tは

　　

であることがわかる。

 

 

 

力学的エネルギーの保存則を用いて、振り子の運動方程式を導くことにする。

 

右図に示すような、長さlのひもの先に質量mのおもりを付けた単振り子があるとする。

このとき、点Oを基準にした質量mのおもりの位置エネルギーは、

　　

になる。

ここで、gは重力加速度。

そして、振り子のおもりの速度をvとすると、

　　

なので、振り子のおもりの運動エネルギーは

　　

となり、力学的なエネルギーの総和Eは

　　

になる。

（力学的）エネルギー保存則より、Eは一定なので、これを時刻tで微分すると、

　　

したがって、

　　

dθ/dtは恒等的に0ではないので、

　　

でなければならない。

そして、（１）式は、この振り子の運動を表す運動方程式になる。

（１）の両辺をml²で割ると、

　　

｜θ｜が1に比べて小さいとき、

　　

と近似できるので、（２）式は

　　

となる。

さらに、

　　

とおくと、

　　

よって、この微分方程式の一般解は

　　

であり、初期条件

　　

を満たす解は、

　　

ここで、v₀は点Oにおけるおもりの速さ。

そして、この振り子の周期Tは、

　　

である。

 

位置エネルギーの計算、すなわち、

　　

で重力mg（正確には−mg）を使っているので、（重）力をまったく使っていないわけではないけれど、エネルギー保存則を用いた運動方程式（１）の導出において、表面的には（重）力の出番はない。

それどころか、位置エネルギーはポテンシャル（エネルギー）なので、（６）を根拠に、ポテンシャルから

　　

と重力−mgを導き出すこともできる。

――重力から重力ポテンシャルが生まれるのか、重力ポテンシャルから重力が生まれるのかは、「ニワトリが先か、卵が先か」と同じ、不毛で無意味な議論！！――

 

 

少なくとも、この単振り子の運動は、力なんてよくわからないもの、野暮で無粋なものを駆逐し、エネルギーという概念だけを用いてすべて語ることができる。

エネルギーはスカラー、つまり、大きさだけを持ち、方向を持たない量だから、座標変換しても値は変わらないし、エネルギーは方向を持っていないから、そもそも座標変換によって方向が変わることもない。そして、このことは、運動方程式の書き換えや導出において、とんでもない強みになるのであった。