今日のアニソン、「邪神ちゃんドロップキック」から『あの娘にドロップキック』

今日のアニソンは、アニメ「邪神ちゃんドロップキック」から『あの娘にドロップキック』です。

陰険で邪（よこしま）、わがままで自分勝手。救いようのない性格をしているのでけれど、邪神ちゃん（下半身がヘビの女の子）は愛らしくていいよね。ネムネコは大好きだにゃ。

最新のアニメなので、ED曲の動画はYouTubeにないので、OP曲だけで我慢して欲しいにゃ。

ラグランジュ方程式

４．ラグランジュ方程式

 

 

　標準的な解析力学のテキストでは、じつは(9)を導いた段階でダランベールの原理は退場してしまうのです。というのは(9)はままでは、この関係に使い途がないからです。

　成立過程に忠実に物事教えるという解析力学講義の導入は、間違いではないのですけれど、3世紀も古い物質観のもとに「幾何学的拘束条件による抗力は、それ自身で釣り合う」という事実を語るのみで、ダランベールの原理はお役御免になります。

　この事態を学生はどう受け取るかというと、今までの話は何だったんだ？と混乱します。だってラグランジュ方程式の導出の本質には、ダランベールの原理は全く無関係ないんですよ。あるいは、それ以上はありもしないダランベールの原理の物理的意味を求めて、とある学生は「標なき旅（永井龍雲）」に出ます(^^;)。一般相対性理論の等価原理なんかに逢着出来たら幸いですが、そのような人は最初からそれ以上の物理的意味はないと見抜くはずです。

 

　(9)のもともとの目的は、「その未知の束縛の力を用いずに既知の力だけで運動方程式を書く事」にあります。

　　

　運動方程式は、F_j－m_ja_j＝0でしょうか？。山本先生に脚注で怒られますよ(^^;)。同pp.317にはこうあります。

「ラグランジュ自身、「もっと複雑な原理やもってまわった原理から導かれる方法に比べて、ダランベールの原理の方法は、たいがいの場合、ずっと込み入っている」と認めている。」

 

　要は、もう一工夫必要という事です。(9)からF_j－m_ja_j＝0としてはいけないのは、(9)が仮想変位δr_jに関する恒等式ではないからです。だったら恒等式にすれば良い！が、ラグランジュの基本的着想です。

　話を単純化するために、図-1の質量m₂はないとします。m₁とm₂をつなぐ伸びない糸も当然無しです。m₁を単にmで表します。δr＝(δx，δy)と書けます。(x，y)は質量mの（m₁の）座標。ここまで単純化したので、(9)の内積を成分で書き下します。次式で、下付き添え字x，yはFとaのx方向，y方向成分を表します。

　　

　もし(10)で微小変位δx，δyを互いに関係なく任意にとれたら恒等式なので、δx，δyの前の係数部分はそれぞれ0になる必要があり、x方向とy方向の運動方程式が、F_x＝ma_x，F_y＝ma_yとそれぞれ得られます。しかしmは拘束軌道Ｃに束縛されているのでした。Ｃが円だとすると(x，y)は円の方程式を満たさなければならないのでδx，δyは完全に任意ではなくなり、(10)は恒等式ではありません。

　最もベタにやるとすれば円の方程式を利用してyをy＝y(x)の形に表し、(10)をδxだけで書き直してやってδxに関する恒等式とする事です。でも、もっとスマートな方法があります。

　図-1でm₂がないとすれば、m（m₁）の位置は、円形軌道Ｃの中心からmまで引いた動径rの、x軸からの角度θだけで決まるじゃないですか。もちろんx-y座標系の原点は、円Ｃの中心にあります。つまり極座標に移れば良い、という事です。見た瞬間にわかりますよね？(^^)。rを一定として、

　　

です。ここから、

　　

なので、(11)を(10)に代入し、

　　

です。δθは任意なので、(12)は恒等式で、

　　

が「θに関する運動方程式」です。

　ここで言えるのは、系の自由度を適切に反映した座標系に移れば（それはけっこう見た瞬間にわかる）、系への拘束は座標変換の定義に含まれてしまい全然考える必要がない(^^)、という事です。しかも拘束力を考慮する必要すらない(^^)。ただし(13)においては力と加速度はもとの(x，y)系での表現になっているので、力と加速度をθ座標で表さなければ、(13)をそのまま「θに関する運動方程式」として解く事はできません。

　だったらθ座標で力と加速度を書き直せば良いと、ラグランジュは考えました。上記状況を一般化するとこうなります。

　N個の質点（質量）があるとすれば、取り扱わなければならない座標値は3N個になります（3次元で考える）。そこにs個の幾何学的拘束条件が入ったとします。s個の幾何学的拘束条件により、3N個の座標値は互いに関係付けられ、3N個の未知数のうち任意の(3N－s)個を決めれば、s個の幾何学的拘束条件に従属して残りs個の未知数も決まるという状態になるはずです。連立方程式の未知数と条件数の関係ですよ。

　3N－s＝n個の独立な自由度は原理的にはどうとでも選べます（未知数と条件数の関係だから）。それらをq_j，j＝1～nで表し、一般化座標と呼びます。一方もともとの(x，y，z)座標で表されていた3N個の座標値は、x，y，z方向に関わらず、x_k，k＝1～3Nで表す事にします。s個の幾何学的拘束条件から、

　　

となります。(14)は(q_j)から(x_k)への座標変換を定義し、その中に系への拘束は全て自明に含まれます。だってそうなるような座標系を選ぶんですから(^^)。

　座標変換に時間tが含まれて良いのは、仮想仕事の原理が、時間に依存する幾何学的拘束にも対応してるからです。意外かも知れませんが、ラグランジュの方法はとんでもなく広い座標変換を考慮しているんです。

 

　(x_k)表現による仮想働の原理は、

　　

ですから、後は(14)を利用してひたすら計算に励むだけです。この「ひたすら計算に励むだけの作業」をラグランジュは非常に重視しました。

　何故なら系の動き方を適切に反映する座標への座標変換は、図-1を見た時のようにたいがいは一瞬で明らかになる。座標変換式(14)は、それに基づき一定の訓練さえあれば誰でもが書ける。そして(14)と(15)さえあれば、後は「ひたすら計算に励むだけの作業」になる。計算というのは、一定の訓練さえあれば誰でもが出来るようになるものだ。従って一回だけ図-1を見れば、ニュートンの方法のようにその後も幾何学的関係を常に気にする必要は全くなくなる。私は力学において、究極のバカチョン方式を作ったのだ。

　個人的意見ですが、究極のバカチョン方式は数学・物理学を問わず、それらの究極の目的の一つのだと思います。そして時代は（18世紀は）そのようなものを求めていました。という訳で励みます。

　座標変換(14)による(15)の書き換えを行います。(14)より、

　　

なので、

　　

　(17)でx_kの時間tに関する偏微分項がないのは、仮想変位は時間を止めて行うからです。時間に関する微分を'とすれば、a_k＝(x_k')'は明らかなので、(17)の(15)への代入結果は、

　　

です。

　ここで(18)の目的を思い出します。座標(x_k)から(q_j)に移り(15)を(q_j)で書き直して(18)を得た目的は、それを仮想変位δq_jに関する恒等式として、q_jについての運動方程式を導く事でした。完全に独立な座標q_jだけで(15)を書き直すためにこそ、座標変換(14)を導入したのでした。よって(18)をδq_jの添え字jについて整理します。添え字k，jに関する和に特に制限はないので、

 　　

とできます。(19)の仮想変位δq_jは完全に任意です。従って、

　　

が一般化座標q_jに関する運動方程式です。しかし(20)はまだ(13)の状態です。そこで(20)が(x_k)を陽に含まないように、形式的に書き換えます。(16)から明らかに、

　　

です。そして次の形式的記法を導入します。

　　

　(22)，(23)の言ってる事はこうです。(21)最右辺で、x_kは(q_j)とtの関数ですが、そこに(q_j')が新しく加わります。(q_j)と(q_j')は本当は時間tを介して関連しているのですが、「(q_j)と(q_j')があたかも無関係な変数であるかのように、x_k'＝x_k'((q_j)，(q_j')，t)であるとみなせ！」と言ってるんです(^^;)。

 

　この形式的記法は、次の変形のためにあります。(20)の左辺2項目に積の微分公式を適用すると、

　　

ですが、(24)の右辺2項目の後半は、正しい（？）微分のやり方で、

　　

となり、形式記法で書いた(23)に一致します。

　よって(24)は形式記法の定義を忘れないという前提で(22)も(25)とともに使い、

　　

と書ける事になります。

　さらにx_k'＝x_k'((q_j)，(q_j')，t)の前提のもとに、右辺には形式的に合成関数の微分公式も適用できます。

　　

　(27)を(20)に代入すれば、

　　

ですが、Σ_k1/2×m_kx_k'²というのは、系の運動エネルギーＶです。

　　

　次に(28)左辺1項目にもう少し詳しい情報を与えます。恐らく次の考えは、いま導こうとしているラグランジュ方程式から一般に広まったと思えるのですが、F_kが座標(x_k)のみで決まる力であるとき、保存力と言います。代表格は万有引力の法則です。F_kが保存力の場合、それは力のポテンシャルＵ(x₁，x₂，・・・，x_3N)から導けます。Ｕはスカラーです。

　　

なので(28)左辺1項目は、力のポテンシャルＵを新しい座標q_jで偏微分した形になります。(29)の中辺は、一般化力と呼ばれます。(29)を(28)に使い、全体の符号を変えると、

　　

を得ます。(30)を正しく使うためには、あらかじめ運動エネルギーＶを(21)を使ってＶ＝Ｖ((q_j)，(q_j')，t)の形に書き換えておき、Ｕも同様に(14)を使ってＵ＝Ｕ(q_j)の形に書き換え、q_j'に関する微分は「(q_j)と(q_j')はあたかも無関係な変数であるかのように、形式的に微分する」必要があります。

　ところでＵ(q_j)は(q_j')を含まないので、そのq_j'に関する微分は0です。そこで、

　　

なるＬを定義しておくと(30)は、

　　

と書ける事になります。(32)をラグランジュ方程式と言い、Ｌ＝Ｖ－Ｕはラグラジアンと呼ばれます。

　保存力の場合ラグランジュ方程式はとても綺麗になります。それで次の物質観が広まったと思えます。

 

「物体は微粒子から構成され、微粒子間には保存力が働く。個々の微粒子はニュートンの運動方程式に従う」

 

　自分はこれを、古典力学の特殊事情と呼んでます。

　つまり純粋な古典力学とは、保存力とニュートンの運動方程式しかない世界です。

 

５．ラグランジュ方程式はわかりにくいのだ

　あらためてラグランジュ方程式をちゃんと導いてみましたが、とってもわかりにくいなぁ～と思いました(^^;)。

　前項の始まりは、N個の質点の運動の記述には3N個の座標値が必要な事、s個の幾何学的拘束条件があると自由に選べる座標はn＝3N－s個に減る事などでしたが、こいつらはラグランジュ方程式の具体的な導出過程において、何か本質的な役割を果たしたでしょうか？。自分の意見では、全く無関係です！

　もし果たしたとすれば、3N個の(x_k)からn個の(q_j)に移る座標変換で便利になるはずだぁ～という、ラグランジュ方程式への動機付けくらいです。

 

　なので具体的にラグランジュ方程式を導びく段階になると、座標変さえありゃ～良い事になり、本質的には何の寄与もしていません。だって形式的な微分規則を導入して、(x_k)が陽に現れない形に強引に運動エネルギーとポテンシャルエネルギーを持ち込んだんですよ。たったら座標変換から出発すりゃ～良いじゃない！、と学生は思う訳です。

 

　もう大方の予想はついてると思いますが、ダランベールの原理も仮想仕事の原理も使わずに、座標変換のみに基づいて運動方程式を書き換え、ラグランジュ方程式を導く事は可能です。

　ランダウ先生の力学はこの方向の根拠に変分原理を据え、無茶苦茶スマートにラグランジュ方程式が出てきます。そこではダランベールの原理も仮想仕事の原理も、一顧だにされません(^^;)。