第４回 ラプラス変換の微分方程式への応用 [ラプラス変換入門]
第４回 ラプラス変換の微分方程式への応用
ラプラス変換を用いた、２階の定数係数常微分方程式の初期値問題の解法について考える。
y(t)、f(t)をラプラス変換し、
とおくと、ラプラス変換の微分法則より
となるので、微分方程式をラプラス変換すると、
となる。
これをY(s)について解くと、
となり、Y(s)をラプラス逆変換することによって、微分方程式の解を求めることができる。
ラプラス逆変換
となるような関数f(t)が存在するとき、f(t)をF(s)のラプラス逆変換といい、記号
で表す。
問題１ 次の微分方程式の解y=y(t)を求めよ。
【解】
（１） 
とおき、微分方程式の両辺のラプラス変換を求めると、
この両辺のラプラス逆変換をとると、
だから、
（２） とおき、微分方程式の両辺のラプラス変換を求めると、
これをYについて解くと、
両辺のラプラス逆変換をとれば、
（解答終）
問題２ 次の微分方程式を解け。
【解】
とおき、微分方程式の両辺のラプラス変換をとると、
これをYについて解くと、
両辺のラプラス逆変換をとると、
（解答終）
問題３ 次の微分方程式を解け。
【解】
とおき、微分方程式の両辺にラプラス変換をほどこすと、
X、Yについて解くと
このラプラス逆変換をとると、
（解答終）
問題４ 次の微分方程式を解け。
【解】
とおき、微分方程式の両辺のラプラス変換をとると、
よって、
X、Yについて解くと、
よって、
（解答終）
