お前らに問題（７月９日） ラプラス変換

お前らに問題（７月９日）　ラプラス変換

 

 

今日、アップしたブログの記事の中で√tのラプラス変換を２通りの方法で導いた。

その結果は、

　　

 

ではあるが、この方法以外に、ラプラス変換の積分法則

　　

を用いて、√tのラプラス変換を求めることができる。

何故ならば、

　　

となるからだ。

 

ということで、問題。

 

問題　ラプラス変換の積分法則（１）を用いて、

　　

を求めよ。

ただし、

　　

は使ってよいものとする。

 

ここまでヒントを出したのだから、必ず、やれよな。

 

さらに

今日のアニソン、「H2O -FOOTPRINTS IN THE SAND」から『片翼のイカロス』

今日のアニソンは、アニメ「H2O -FOOTPRINTS IN THE SAND」から『片翼のイカロス』です。

ファンには申し訳ないけれど、ハッキリ言って、聞くと耳が汚れるほどの「駄曲」で聞くに耐えないにゃ。ここまで壊滅的にヒドイアニソンは珍しいケロよ。

ED曲はいくらかマシだけれど、こっちもヒドイ曲だな〜♪

ラプラス変換 補足

ラプラス変換　補足

 

 

問１　a>0のとき、次のラプラス変換を求めよ。

　　

【解】

s>0のとき

　　

（解答終）

 

階段関数u(t)を

　　

と定義すると、問１の結果より、

 

問２　のラプラス変換

　　

を求めよ。

【解】

　　

τ=stとおくと、

　　

だから、

　　

よって、

　　

（解答終）

 

なお、上の計算では、ガンマ関数Γ(x)の定義

　　

を使っている。

 

xがn=0,1,2,・・・のとき、ガンマ関数は

　　

となるので、問２の結果（２）を用いると、ラプラス変換の公式

　　

を導くことができる。

さらに、a=−1/2とおくと、

　　

 

 

問３　関数f(t)=√tのラプラス変換を次の指示にしたがって求めよ。

（１）　であることとであることを利用し、f(t)=√tのラプラス変換求めよ。

ただし、

（２）　であることを利用し、f(t)=√tのラプラス変換を求めよ。

【解】

（１）　g(t)=1/√tとすると

　　

よって、

　　

 

（２）

　　

よって、

　　

（解答終）

 

なお、問３の（２）では、ガンマ関数の次の性質を利用している。