ラプラス変換 補足

ラプラス変換　補足

 

 

問１　a>0のとき、次のラプラス変換を求めよ。

　　

【解】

s>0のとき

　　

（解答終）

 

階段関数u(t)を

　　

と定義すると、問１の結果より、

 

問２　のラプラス変換

　　

を求めよ。

【解】

　　

τ=stとおくと、

　　

だから、

　　

よって、

　　

（解答終）

 

なお、上の計算では、ガンマ関数Γ(x)の定義

　　

を使っている。

 

xがn=0,1,2,・・・のとき、ガンマ関数は

　　

となるので、問２の結果（２）を用いると、ラプラス変換の公式

　　

を導くことができる。

さらに、a=−1/2とおくと、

　　

 

 

問３　関数f(t)=√tのラプラス変換を次の指示にしたがって求めよ。

（１）　であることとであることを利用し、f(t)=√tのラプラス変換求めよ。

ただし、

（２）　であることを利用し、f(t)=√tのラプラス変換を求めよ。

【解】

（１）　g(t)=1/√tとすると

　　

よって、

　　

 

（２）

　　

よって、

　　

（解答終）

 

なお、問３の（２）では、ガンマ関数の次の性質を利用している。