第７回 連続関数の性質 [微分積分]
第７回 連続関数の性質
区間Iで定義された関数f(x)が、Iの各点aで連続であるとき、すなわち、
任意のa∈Iと任意のε>0に対し、ある正数δ>0が存在し、
であるとき、
f(x)はIで連続、あるいは、f(x)はI上の連続関数という。
ただし、区間Iが開区間(a,b)でなく、閉区間[a,b]などであるとき、
x=aで右連続、すなわち、
x=bで左連続、すなわち、
とする。
定理１
関数f(x)、g(x)がI上の連続関数、また、α、βを定数とすると、
はI上で連続な関数である。
基本的に関数の極限と同様の証明なので、証明は省略。
問１ 関数f(x)が（実数全体の集合Rで）連続ならば、
は（実数全体の集合Rで）連続であることを示せ。
【略解】
関数f(x)は任意のa∈Rで連続なので、任意のε>0に対して、適当なδ>0をとると、
よって、はIで連続。
（略解終）
問２ 関数f(x)がI上で連続、かつ、Iで常にf(x)≠0ならば、1/f(x)はI上で連続であることを示せ。
【解答】
a∈Iとすると、f(a)≠0なので、
そこで、任意の正数εを
にとると、f(x)は連続なので、あるδ>0が存在し、
また、
よって、
したがって、
ゆえに、
となり、1/f(x)はI上で連続な関数である。
（解答終）
問３ f(x)は実数全体の集合Rで連続な関数であるとする。xが有理数のときつねにf(x)=0ならば、f(x)はRでつねにf(x)=0であることを示せ。
【解】
f(a)≠0である無理数a∈Rが存在すると仮定すると。
そこで、
とすると、f(x)はaで連続なので、このε>0に対して、あるδ>0が存在して、
となる。
が成り立つので、
であるすべてのxについて
となり、のにある有理数xについても
となり、仮定に反する。
よって、無理数xのときにも、
となり、f(x)はx∈Rで常に
である。
（解答終）
問４ f(x)、g(x)はRで連続な関数とする。有理数の点xで常に
が成り立てば、任意のx∈Rで
が成り立つことを示せ。
【解】
とすれば、h(x)はRの連続な関数で、有理数の点xで常に
したがって、問３より、任意のx∈Rでh(x)=0。
よって、任意のx∈Rで
（解答終）
定理２
関数f(x)がI上で連続、関数g(x)がJ上で連続、かつ、
でなるならば、合成関数
はI上で連続である。
ここで、
【証明】
a、x∈Iとし、b=f(a)とすると、b∈J。
y∈Jとすると、g(x)はJで連続なので、任意のε>0に対して、あるδ’>0が存在し、
また、f(x)はIで連続なので、任意のε’>0に対して、あるδ>0が存在し、
ε'は任意の正数なので、ε'=δ'とし、δ>0を新たに定めると、
（証明終）
定理３ （逆関数の連続）
関数fをIで狭義単調増加で連続とすると、f(I)でf⁻¹は狭義単調増加で連続である。
定理４ （中間値の定理）
関数f(x)は閉区間[a,b]で連続、かつ、f(a)≠f(b)とするとき、f(a)とf(b)の間の任意の実数γに対して、
となる点cが存在する。
【証明】
f(a)<f(b)の場合を証明する。
f(a)<γ<f(b)となる任意の実数γをとり、
とおくと、g(x)は[a,b]で連続でg(a)<0、g(b)>0となる。このとき、
をみたすcが存在すれば、f(c)=γとなり求めるものとなる。
そこで、
とし、上限sup A = cとし、g(c)=0と仮定する。
（ⅰ）g(c)>0とする。
sup A =cだから任意のδ>0に対して
であるxが存在し、このときx∈Aだからg(x)<0である。
Aは[a,b]の部分集合で、sup A=cは[a,b]の点だから、f(x)は点cで連続である。したがって、定理より十分小さなδ>0をとればg(x)はf(c)>0と同符号となるが、これはg(x)<0であることに反する。
（ⅱ）g(c)<0とする。
g(b)>0だからc≠b、c<bである。
よって、δ>0を十分小さくとると、
であるxに対してg(x)はg(c)<0と同符号となり、x∈Aとなるが、c<xはsup A=cと矛盾する。
よって、（ⅰ）、（ⅱ）のいずれにしても不合理で、g(c)=0である。
（証明終）
定理４の系
関数f(x)が[a,b]で連続で、f(a)とf(b)とが異符号ならば、
であるcが存在する。
問５ 方程式x³+3x−1=0は、０と１の間に解をもつことを示せ。
【略解】
f(x)=x³+3x−1は連続な関数で、f(0)=−1、f(1)=3だから、０と1の間にf(c)=0となるcが存在する。
（略解終）
定理５ （最大・最小値の定理）
関数f(x)が閉区間[a,b]で連続であるとき、f(x)は[a,b]で最大値、最小値をもつ。
この定理の証明には、ボルツァノ・ワイエルシュトラスの定理などが必要となるので、定理だけを紹介する。
５月２３日の記事にある問題の（２）の証明を募集！！ [お前らに質問]
５月２３日の記事にある問題の（２）の証明を募集！！
問題
（１） x=1/2でf(x)が連続であることを示せ。
（２） x=1/2以外の点xで、f(x)は連続か？
定理
fを区間Iで定義された関数、a∈Iとする。関数fは点aが連続であるための必要十分条件は、
ならば必ず
この定理（というか、ε−δ論法を使わない関数の連続の定義）を使えば、簡単に証明することができる。
その証明のイメージ図↓。
あるいは、
という関数g(x)を導入する。
f(x)が点aで連続であることとg(x)が連続であることとは同値だにゃ。
だから、g(x)が点x=1/2以外の点で不連続であることを示せば、f(x)も点x=1/2以外の点で不連続ということになる。
こうすれば、今日、紹介した次の定理を使って、f(x)（g(x)ですが）がx=1/2以外の点xで連続でないことを証明することができる。
定理３
関数f(x)が点aで連続でf(a)≠0ならば、点aの近傍でf(x)とf(a)は同符号である。
a<1/2のとき、aが有理数ならばg(a)<0、aが無理数ならばg(a)>0。
a>1/2のとき、aが有理数ならばg(a)>0、aが無理数ならばg(a)<0。
そして、
定理３から、
δ>0をものすごく小さくとれば、g(x)が点aで連続ならば、であるすべての点xでg(x)とg(a)は同符号になる。
ここまでヒントを出したのだから、あとは自分で考え、証明の形にする。
そして、ここが重要なのだが、
その証明をこの記事のコメント欄に書き、ネムネコのもとに送信するように。
この２つの方法とは違う証明をしたヒトも、この記事のコメント欄に証明を書いてネムネコのもとに送信するにゃ。
送ってもらった証明は、正しかろうが、間違っていようが、はたまた、証明に不備があろうが、ネムネコが責任を持って清書し、このブログで紹介するにゃ。
第６回 関数の連続 [微分積分]
第６回 関数の連続
点aの近傍で定義されている関数f(x)が
であるとき、関数f(x)は点aで連続であるという。
すなわち、
f(x)が点aで連続であるとは、
任意の正数εに対して、ある正数δが存在して、
であることである。
論理記号を用いて、より厳密に書くと、
したがって、f(x)が点aで連続でない、すなわち、不連続であるとは、（３）を否定すればよく、
すなわち、
ある正数εが存在して、任意の正数δに対して、
を満たすxが存在することである。
問１ x=0で次の関数f(x)は連続か。
【解】
任意のε>0に対して、δ=εとすると、
ならば
よって、f(x)はx=0で連続である。
（解答終）
【別解】
よって、（ハサミ打ちの定理より）
のとき、
したがって、f(x)はx=0で連続である。
（別解終）
問２ x=0で次の関数f(x)は連続か。
【解】
とすると、
δ>0をどんなに小さくしても、
となる
が
に存在し、このとき
よって、f(x)はx=0で連続でない。
（解答終）
問題
（１） x=1/2でf(x)が連続であることを示せ。
（２） x=1/2以外の点xで、f(x)は連続か？
また、
であるとき、f(x)は点aで右連続であるという。
これをε−δ論法で表すと、
任意の正数εに対して、ある正数δが存在して
が成り立つことである。
さらに、
であるとき、f(x)は点aで左連続という。
これをε−δ論法で表すと、
任意の正数εに対して、ある正数δが存在して
が成り立つことである。
定理１ （連続であるための必要十分条件）
関数f(x)が点aで連続である必要十分条件は、f(x)が点aで右連続かつ左連続であることである。
すなわち、
【証明】
f(x)が点aで連続であるとすると、任意の正数εに対して、ある正数δが存在して、
よって、
したがって、f(x)が点aで連続ならば、f(x)は点aで右連続かつ左連続である。
逆に、f(x)が点aで右連続、かつ、左連続であるとすると、
任意のε>0に対して、あるδ₁>0、δ₂>0があって、
したがって、
にとると、
また、x=aのとき、任意の正数εに対して
が成り立つので、
（証明終）
定理２
関数f(x)、g(x)が点aで連続、α、βを実数とすると、
も点aで連続である。
【証明】
基本的に関数の極限の公式の証明と同じなので、αf(x)+βg(x)が点aで連続であることだけを示す。
α=0、β=0のときは明らかなので、αとβがともに0でないとする。
任意の正数εに対し、
とおくと、ε'>0である。
f(x)、g(x)は点aで連続なので、任意の正数ε'に対して、あるδ₁>0、δ₂>0があって、
したがって、
とおくと、
任意のε>0に対して、δ>0があって、
ならば、
よって、αf(x)+βg(x)は連続である。
（証明終）
定理３
関数f(x)が点aで連続でf(a)≠0ならば、点aの近傍でf(x)とf(a)は同符号である。
【証明】
（ⅰ） f(a)>0の場合
f(x)は点aで連続なので、
任意のε>0に対して、あるδ>0が存在して、
ε>0は任意なので、
とし、これに応じてδ>0を定めると、であるすべてのxについて
（ⅱ） f(a)<0の場合
をとし、δ>0を定めると、であるすべてのxについて
よって、証明された。
（証明終）
f(a)<0の場合は、（ⅰ）の結果を使い、次のように証明してもよいでしょう。
（ⅱ’） f(a)<0の場合
f(x)は点aで連続なのでg(x)=−f(x)も点aで連続で、g(a)=−f(a)>0。
よって、（ⅰ）より、g(x)は点aの近傍でg(x)>0。
したがって、f(x)は点aの近傍でf(x)=−g(x)<0である。
定理３は、色々な局面で使用する重要な定理なので、覚えておいたほうがよい。
お前らに質問（５月２０日、２１日）の解答と対数関数、指数関数の微分に関する話 [お前らに質問]
問題２ 次の不等式を証明せよ。
【解答例】
とすると、
よって、f'(1)=0、f''(1)>0となり、x=1のとき、f(x)は極小で最小。
したがって、
1/x>0だから、
（解答終）
y=log xとおいたとき、y''>0だから、y=log xは上に凸。そして、y=x−1はx=1におけるy=log xの接線だから、y=x−1はy=log xの下側にはない（下図参照）。「よって、x−1≧log x」という解答もありなんでしょう。
問題
と定義する。
x>0、y>0のとき、次のことが成り立つことを示せ。
【解答例】
（１）
（２）
t=xsとおくと、t=xにはs=1/x、t=xyにはs=yが対応し、dt=xdsだから、置換積分より
よって、
（３）
（４）
（解答終）
n、mを正の整数とすると、
（１）から
以下同様に、
また、
したがって、
ゆえに、正の有理数にqに対して、
さらにここから拡張ができて・・・。
このように、対数関数の性質も
という定義から芋づる式に出てくるにゃ。
積分関数は被積分関数の連続性を引き継ぐから、
がなりたつことは言わずもがな。
――問題２の不等式を用いて、「お前らに質問（５月２０日）」にあるように、直接証明することも可能。問題２の解答では微分を使って不等式を証明したが、微分を使わず、1/xの積分から不等式を導くことだってできる。――
しかも、微積分の基本定理から自然と
も出てくる。
というわけで、
そもそも、
を出発点に指数関数
、その逆関数である対数関数
を構成する必要なんてないんだケロ。
さらに、
1/xはx>0で狭義単調増加関数だから、log xも狭義単調増加関数となり、逆関数が存在する。
y=logxとおいたとき、その逆関数
と定義すれば、
逆関数の微分公式
より、
となる。
つまり、
したがって、指数関数は何度でも微分が可能で、
よって、次のマクローリン級数が得られ
これから
という関係式が得られる。
――（３）は（２）の証明で出てくる！！――
だから、（２）を微分積分から追放しても何にも困らないにゃ。
なのに、（２）から始めるから、指数関数、対数関数の極限や連続の扱いに困るんだケロよ。
お前らに質問（５月２０日）に寄せられたddt³さんのコメントへのネムネコのお便り [ひとこと言わねば]
ddt³さんからお便りをいただいので返信するにゃ。
数列の極限を利用した関数の連続の定義
fは区間Iで定義された関数でa∈Iとする。
、
ならば、かならず
であるとき、fはx=aで連続であるという。
この定義はε−δ論法による関数fの連続の定義、
任意のε>0に対して、あるδ>0が存在し、
と同等なもの。
だから、どちらの定義を用いて関数の連続を定義しようが構わない。
現にε−δ論法を使わず、数列（点列）の極限をもとに関数の極限、連続を定義し、話を進める流儀もある。この場合、ε−δ論法ではなく、ε−N論法というものが登場しますが・・・。
位相の言葉を用いた関数fの連続の定義
f;X→Yを写像とする。
Xの元xに対して、f(x)のYにおける近傍Vのfによる逆像
がかならずxのXにおける近傍になるとき、すなわち、
を満たすとき、fは点xで連続である。
（注意）
ここで登場するf⁻¹は、fの逆関数ではない。
たとえば、X={1,2,3,}、Y={ネコ,マムシ,トキ｝とし、XからYへの写像fを
とすると、
だにゃ。
トキには対応するXの元が存在しないので、
と空集合∅になる。
つまり、ここに登場するf⁻¹は、Yの部分集合からXへの部分集合への写像、集合の関数で、逆関数とは違うにゃ。
（注意終）
XとYを実数全体の集合Rとし、通常の距離、すなわち、
を導入すれば、この３つの定義は同一なものになる。
これは事実。
なのですが、私が問うているのは、このことではなく、
a>0とするとき、
が存在し、その値が紛れもなく
であることを示せ
なんですよ。
たとえば、
という関数の場合、
でしょう。
なのに、
a>0のとき、対数関数のグラフの視覚的なイメージを根拠に、
とやっていませんか、こんなことでいいんですか、
と、私は言っているんですよ。
たとえば、三角関数cos xが点aで
という極限値をもつことの証明は、たとえば、ε−δ論法を用いれば、次のように行うでしょう。
問題 aを実数とするとき、次のことが成り立つことを示しなさい。
【解答】
任意のε>0に対して、δ=εにとると、
よって、
（解答終）
0<x<π/2のとき、
の証明には、
三角関数の極限
の証明で使った扇形の面積（半径rの円の面積πr²を求めている際に使っているので、三角関数の極限の証明は循環論法になっているという批判がある！！）を使わず、扇形の円弧の長さを使えば、初等幾何などの知識から示すことができるので、
上の解答には傷がない。
円弧APは必ず線分APの長さより長いケロ。
点PからOAへの線分の足をHとすれば、PAはrsinxで、これはAPより短い（∵ ∠A<∠PAH=∠R）。
よって、r>0だから、
こういった証明を、
の場合、できるのですか？
伝統的な指数関数、対数関数の定義から、このことを証明することは容易でないためなのでしょう、
を示せ、といった問題は、微分積分の教科書、演習書に出てこない。
そして、指数関数、対数関数は定義域内で連続であることを前提に、微分積分の話は続いていくのであった。
このことは（微分積分で）決して触れてはいけないタブー、決して開けてはいけないパンドラの匣なんだと思うケロ。
さいわい、高校数学で、指数関数、対数関数が連続であることの擦り込み、インプリンティングが徹底的に行われているので、誰もこのことに疑問を持たない！！
このことに些かでも疑問をもったら最後、もったヒトは間違いなく奈落の底に突き落とされる(^^ゞ
高木貞治の「解析概論」にあるように、対数関数は
などで定義したほうが理論的にスッキリする。
そして、これから、直ちに、
は出てくるし、指数関数は（１）で定義されるlog xの逆関数と定義すれば、すべて丸く収まるんだにゃ。
また、
興味のあるヒトは、x>0、y>0とするとき、
（１）から対数関数の性質
が出てくることを示すケロ。
対数関数、指数関数の定義が悪い、十分じゃないから、こんな厄介な事が起きるんだケロ。
今日、ブログにアップした「第５回 ネイピア数」の記事に出てくる問２の解答（？）、証明（？）を書くとき、オレがどれくらい疚しさを感じたことか・・・。
ハッキリ言うけれど、あれはインチキです(^^ゞ。
第５回 ネイピア数 [微分積分]
第５回 ネイピア数
指数関数、自然対数
の底として用いられるネイピア数eは、極限
で定義される超越数である。
まず、一般項
である数列
が単調増加であることを示そう。
二項定理によって
nの代わりにn+1を代入すれば、右辺の各項の値が大きくなり、しかも、項数が増えるので、数列は単調増加である。
また、上の等式を見ると、
が成立し、したがって、数列は上に有界である。
上に有界な単調増加な数列は収束するので、は収束し、極限
が存在する。
次に、xが正の実数であるとき、
が成立することを示せ。
n≦x<n+1（nは自然数）とすると、
したがって、
である。
だから、
である。
よって、ハサミ打ちの定理より
である。
問１ 次のことを証明せよ。
【解】
t=−xとおくと、x→−∞のときt→∞。
（解答終）
したがって、
問２ 次のことが成り立つことを示せ。
【解】
（１） 
において、x=1/tとおくと、t→±∞のときx→0だから、
（２）
３） 
とおくと、
であり、x→0のとき、t→0だから、
（（解答終）
お前らに質問（関数の極限 ５月２０日） [お前らに質問]
超〜難問だケロ。
問題１ a>0とするとき、つぎのことが成り立つことを証明せよ。
ここで、log xは自然対数である。
ちなみに、
「xがaにかぎりなく近づくのだから、このとき、log xはlog aに近づく」っての証明にならないケロよ。
だって、これは暗黙のうちに、
といった計算をしているからだにゃ。
そもそも、この計算で使われている
が成り立つかどうかが不明だケロ。
たとえば、
とすると、
だが、
なので、
だから、一般に、
ということは言えず、したがって、⑨は言えない。
中には、「対数関数log xは点aで連続だから⑨は成立する」というヒトもいるかもしれないけれど、
そもそも、関数f(x)の（１点）連続は、
をもって定義されるもの。
そして、f(x)=log xとすれば、（２）式から
となるので、
この主張は「ならば」といっていることと同じことで、証明すべきことを使って証明するという循環論法になっているにゃ。
だから、この問題は超〜難しいんだケロ。
まぁ、
という不等式を使うと、この難問を解くことができるかもしれないが・・・（右図参照）。
たとえば、
上の不等式より
が成立し、
よって、ハサミ打ちの定理より、
とか。
一見、これは証明になっていそうですが、証明に使う不等式が成立することを証明するには、微分積分などが必要になる。
そして、対数関数の微分が可能であるためには対数関数が連続である必要があるので、
を、暗黙のうちに、使っていることになるにゃ。
やることなすことがすべて逆転しているにゃ。
問題２ 次の不等式を証明せよ。
問題１はともかく、問題２くらいはやれよな。
画像元：上の動画
たとえば、
と両者の差をとり、これを微分し、増減を調べるというダサダサの方法ではなく、できるだけ、格好よく解こうじゃないか。
でも、うまい方法よりも、たとえ格好が悪くても、確実な方法が一番であるのだけれど・・・。
第４回 三角関数の極限 [微分積分]
第４回 三角関数の極限
半径１、中心角θ（0<θ<π/2）扇形OAPを描き、点Aの接線と線OPとの交点をTとすると、
だから、
sinθ>0だから、両辺をsinθで割ると、
となる。
だから、ハサミ打ちの定理より
θ→−0の場合、θ<0だから、θ=−φとおくと、φ>0だから、
よって、
である。
問１ 次の極限を求めよ。
【解】
（１）
（２） 2x=θとおくと、x→0のとき、θ→0だから、
あるいは、三角関数の倍角公式
を用いて
（３）
（４） sin²x+cos²=1から、sin²=1−cos²x。
よって、
（５）
あるいは、
だから、
となるので、
（解答終）
問題 次の極限値を求めよ。
（ヒント）
（１）
（２）
問２ 次の極限を求めよ。
【解答】
（１） 
だから
よって、x→∞のとき
だから、（ハサミ打ちの定理より）
よって、
（２） θ=1/xとおくと、x→∞のときθ→0となるので、
（解答終）
お前らに問題！！（５月１９日）の解答かも [お前らに質問]
お前らに問題！！の解答かも
問題
次の常微分方程式の境界値問題を解け。
ここで、y(a)は点x=aにおけるyの値とする。
【解答（？）】
微分方程式
の一般解は
である。
y(0)=0だから、
また、y(l)=0だから、
ゆえに、c₁=0またはsinωl=0である。
c₁=c₂=0のときは、自明解である定数関数y=0。
sinωl=0のとき、ω>0だから、
よって、
（解答（？）終）
今日は暑いせいか（最高気温２８℃）、はたまた寝不足（３〜４時間くらいしか寝ていない。６時間くらい寝ないと、ネムネコは頭が正常に機能しない）がたたってか、「熱伝導方程式の解」でもおかしなことを書き、「お前らに問題！！」でもポカを連発するなど、今日はいつに増しておかしいにゃ。
今日は、もう、休んだほうがよさそうだにゃ。
お前らに問題 （微分方程式 ５月１９日） [お前らに質問]
お前らに問題！！
次の常微分方程式の境界値問題を解け。
ここで、x(a)は点t=aにおけるxの値とする。
ノーヒントだと辛いかもしれないので、
微分方程式
の一般解は
だケロ。
このブログの訪問者の中には、文系出身者がいて、こんな微分方程式なんて解けないかもしれないから。
微分方程式を解くまでもなく、
という定数関数が上の境界値問題の解であることは確かだが、
ネムネコがそんな単純な問題を出すわけがないにゃ。
世の中、答が常に一つとは限らないケロよ。
夜空にきらめく小さなお星さま（Estrellita）の数以上、無数に答があったっていいじゃないか。
おまけとして、サインとコサインのグラフをつけておくにゃ。
我ながら、
なーんて素晴らしいネコなんだウサー！！
微分方程式を
や
と間違えていたので、式を訂正しました。
うっかりミスは。誰にもあるもんだにゃ。
（この）間違いに気づいた奴は、何故、間違いをネムネコに指摘しないケロか。
「オレはよく書き真ちがいをするから、間違いを見つけた人は、コメント欄にそのことを書いてネムネコのもとに送信するように」と、何度も、お前らにお願いしているじゃないか。
お陰で恥を２時間ほど晒してしまったじゃないか。
だから、悪いのは、ネムネコじゃなくて、お前らだと思うにゃ。
「いつも偉そうにしているけど、ネムネコ、ここ、間違っていやがる」
とばかりに、鬼の首をとる絶好のチャンスだったのに、惜しいことをしたにゃ、お前ら。
