第５回 ネイピア数

第５回　ネイピア数

 

指数関数、自然対数の底として用いられるネイピア数eは、極限

　　

で定義される超越数である。

 

まず、一般項

　　

である数列が単調増加であることを示そう。

二項定理によって

　　

nの代わりにn+1を代入すれば、右辺の各項の値が大きくなり、しかも、項数が増えるので、数列は単調増加である。

また、上の等式を見ると、

　　

が成立し、したがって、数列は上に有界である。

上に有界な単調増加な数列は収束するので、は収束し、極限

　　

が存在する。

 

次に、xが正の実数であるとき、

　　

が成立することを示せ。

n≦x<n+1（nは自然数）とすると、

　　

したがって、

　　

である。

　　

だから、

　　

である。

よって、ハサミ打ちの定理より

　　

である。

 

問１　次のことを証明せよ。

　　

【解】

t=−xとおくと、x→−∞のときt→∞。

　　

（解答終）

 

したがって、

　　

　

問２　次のことが成り立つことを示せ。

【解】

（１）　において、x=1/tとおくと、t→±∞のときx→0だから、

　　

 

（２）

　　

 

３）　とおくと、であり、x→0のとき、t→0だから、

　　

（（解答終）