お前らに質問（関数の極限 ５月２０日） [お前らに質問]
超〜難問だケロ。
問題１ a>0とするとき、つぎのことが成り立つことを証明せよ。
ここで、log xは自然対数である。
ちなみに、
「xがaにかぎりなく近づくのだから、このとき、log xはlog aに近づく」っての証明にならないケロよ。
だって、これは暗黙のうちに、
といった計算をしているからだにゃ。
そもそも、この計算で使われている
が成り立つかどうかが不明だケロ。
たとえば、
とすると、
だが、
なので、
だから、一般に、
ということは言えず、したがって、⑨は言えない。
中には、「対数関数log xは点aで連続だから⑨は成立する」というヒトもいるかもしれないけれど、
そもそも、関数f(x)の（１点）連続は、
をもって定義されるもの。
そして、f(x)=log xとすれば、（２）式から
となるので、
この主張は「ならば」といっていることと同じことで、証明すべきことを使って証明するという循環論法になっているにゃ。
だから、この問題は超〜難しいんだケロ。
まぁ、
という不等式を使うと、この難問を解くことができるかもしれないが・・・（右図参照）。
たとえば、
上の不等式より
が成立し、
よって、ハサミ打ちの定理より、
とか。
一見、これは証明になっていそうですが、証明に使う不等式が成立することを証明するには、微分積分などが必要になる。
そして、対数関数の微分が可能であるためには対数関数が連続である必要があるので、
を、暗黙のうちに、使っていることになるにゃ。
やることなすことがすべて逆転しているにゃ。
問題２ 次の不等式を証明せよ。
問題１はともかく、問題２くらいはやれよな。
画像元：上の動画
たとえば、
と両者の差をとり、これを微分し、増減を調べるというダサダサの方法ではなく、できるだけ、格好よく解こうじゃないか。
でも、うまい方法よりも、たとえ格好が悪くても、確実な方法が一番であるのだけれど・・・。
lim[x→a]f(x)＝f(lim[x→a]x)ってのが、x＝aでfが連続な事の定義ってのが、自分の意見なんですが・・・(^^;)。イメージとしては、実数の連続性を保存する写像が連続写像。
位相空間でf：Ｘ→Ｙがa∈Ｘで連続とは、f(a)∈Ｙの任意の開近傍Ｕの逆像f-1(Ｕ)が、Ｘでaの開近傍になる事。
上記を距離空間に翻訳すると、
a∈Ｘに収束する任意の点列{xn}に対し、点列{f(xn)}がf(a)に収束すれば、fは連続。
・・・だと思ってたんですが、駄目っすか？(^^;)。
by ddtddtddt (2019-05-21 10:34)