Γ(1/2)の値を求める [微分積分]
Γ(1/2)の値を求める
ガンマ関数
nが自然数のとき、ガンマ関数の値は
となるが、これだけでは、応用上、何かと不便なので、ガンマ関数の値
を求めることにする。
ガンマ関数の定義式（１）より、
x=t²とし置換積分すると、x=0にはt=0、x=∞にはt=∞が対応し、また、
だから、
となるので、これは広義積分
の値を求める問題に帰着することができ、
になる。
２重積分の広義積分を用いると、
であるから、
x=rcosθ、y=rsinθと置き、極座標変換すると
となるので、
したがって、
と求めることができる。
なのですが、
以下、
前回、証明したウォリスの公式を
を用いて、Γ(1/2)=√πを求める方法を紹介することにする。
問題 
を次の順に示せ。
【解】
（１） x≧0とし、0≦t≦xとすると、
は減少関数だから、
したがって、
左辺と中辺より、
中辺と右辺より
したがって、
（２） x=√ntとし、置換積分すると、dx=√ndtだから
（３） （１）より
したがって、
t=tanθとおくと、
また、
なので、
また、nが偶数のとき
だから、
（４） 
だから、
また、（１）より
したがって、
t=sinθと置き、置換積分すると、dt=cosθdθだから、
したがって、
（５） （３）と（４）より
また、ウォリスの公式より
したがって、ハサミ打ちの定理より
（解答終）
よって、
ガンマ関数の公式
を用いると、
したがって、一般に、
ただし、0!=1とする。
お前らに質問（１２月１日 不等式） [お前らに質問]
お前らに質問（１２月１日 不等式）
ものすごく初歩的な内容なのだけれど、お前ら、次の不等式をどうやって解くにゃ。
【解答（？）】
x+1>0のとき、⑨の両辺にx+1を掛けると、
x+1<0のとき、⑨の両辺にx+1を掛けると、
よって、解は(・・?
【解答（？）終】
これは一体どういうことだ！！
困ったケロね〜(^^)。
というわけで、この難解な不等式⑨をお前らに解いてもらおうじゃないか。
不等式
の解は、難しすぎるかもしれないので、方程式
の場合はどうケロか？
x+1を両辺に掛けると、
もしこれが成立するならば、
となり、自然数はすべて０に等しいという新事実を発見！！ということになるにゃ（笑）。
まぁ、⑨²の場合、方程式
が解を持つとすると、0=1となり、矛盾するので、方程式⑨²は解を持たない、つまり、
ということになるのですがね。
