正項級数 その2 [微分積分]
正項級数 その2
定理7
区間[1,∞)で定義された連続関数f(x)が、f(x)>0かつ単調減少とする。
【証明】
kを自然数とする。
k≦x≦k+1とすると、f(x)は減少関数なので、
したがって、
よって、
(証明終)
α>0に対して、
を一般調和級数という。
定理8 (一般調和級数の収束・発散)
【証明】
α>0とすると、関数は[1,∞)においてf(x)>0かつ減少関数である。よって、正項級数と広義積分は同時に収束・発散する。
ところで、広義積分が収束する必要十分条件はα>1であったから、正項級数も同じ条件で収束する。
(証明終)
問1 次の級数の収束・発散を判定せよ。
【解】
(1) とすると、f(x)>0かつf(x)は単調減少関数。
したがって、は発散する。
(2) とすると、f(x)>0かつf(x)は単調減少関数。
したがって、は収束する。
(解答終)
定理9 (ダランベールの判定法)
が存在するとき、
(1) ならばは収束する
(2) r>1ならばは発散する。
【証明】
(1) r<ρ<1であるρを取り、このρに対して適当な自然数Nを取ると、
したがって、
(2) 1<ρ<rであるρを1つとり、このρに対して適当な自然数Nを定めると、
したがって、
(証明終)
定理10 (コーシー・アダマールの判定法)
であるとき、次のことが成り立つ。
【解】
(1) r<ρ<1であるρを1とり、このρに対して適当な自然数Nを定めると、
とすることができる。
よって、
(2) 1<ρ<rであるρを1つとって、このρに対して適当な自然数Nを定めると、
よって、。
(証明終)
(注)
ダランベール、コーシー・アダマールの判定法ともに、r=1のとき、収束・発散の判定が行えないので、この点は注意すること。
問2 次の級数の収束・発散を判定せよ。
【解】
(1) とおけば、
よって、ダランベールの判定法により、収束する。
(2) とおくと、
したがって、ダランベールの判定法より、発散する。
(解答終)