正項級数 その２ [微分積分]
正項級数 その２
定理７
区間[1,∞)で定義された連続関数f(x)が、f(x)>0かつ単調減少とする。
このとき、正項級数
と広義積分
は同時に収束・発散する。
【証明】
kを自然数とする。
k≦x≦k+1とすると、f(x)は減少関数なので、
したがって、
よって、
したがって、が収束するならば、
となり、は収束する。
が発散するとき、
から広義積分も発散する。
（証明終）
α>0に対して、
を一般調和級数という。
定理８ （一般調和級数の収束・発散）
一般調和級数
が収束する必要十分条件はα>1である。
【証明】
α>0とすると、関数
は[1,∞)においてf(x)>0かつ減少関数である。よって、正項級数と広義積分
は同時に収束・発散する。
ところで、広義積分
が収束する必要十分条件はα>1であったから、正項級数も同じ条件で収束する。
（証明終）
問１ 次の級数の収束・発散を判定せよ。
【解】
（１） 
とすると、f(x)>0かつf(x)は単調減少関数。
したがって、
は発散する。
（２） 
とすると、f(x)>0かつf(x)は単調減少関数。
したがって、
は収束する。
（解答終）
定理９ （ダランベールの判定法）
正項級数
において、
が存在するとき、
（１） 
ならばは収束する
（２） r>1ならば
は発散する。
【証明】
（１） r<ρ<1であるρを取り、このρに対して適当な自然数Nを取ると、
したがって、
よって、このとき、正項級数は収束する。
（２） 1<ρ<rであるρを１つとり、このρに対して適当な自然数Nを定めると、
したがって、
よって、は発散する。
（証明終）
定理１０ （コーシー・アダマールの判定法）
正項級数において、
であるとき、次のことが成り立つ。
（１） 0≦r<1ならばは収束する。
（２） r>0ならばは発散する。
【解】
（１） r<ρ<1であるρを１とり、このρに対して適当な自然数Nを定めると、
とすることができる。
よって、
0<ρ<1より、
は収束するので、は収束する。
（２） 1<ρ<rであるρを１つとって、このρに対して適当な自然数Nを定めると、
よって、
。
ρ>1より、は発散するので、は発散する。
（証明終）
（注）
ダランベール、コーシー・アダマールの判定法ともに、r=1のとき、収束・発散の判定が行えないので、この点は注意すること。
問２ 次の級数の収束・発散を判定せよ。
【解】
（１） 
とおけば、
よって、ダランベールの判定法により、収束する。
（２） 
とおくと、
したがって、ダランベールの判定法より、発散する。
（解答終）
2019-12-22 22:00
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