正項級数

正項級数

 

 

全ての項である級数を正項級数という。

とおくと、数列は単調増加なので、は収束するか、＋∞に発散するかのいずれかである。

したがって、次の定理が成り立つ。

 

定理５

正項級数が収束するための必要十分条件は、ある実数M>0が存在し、任意の自然数nに対して、

　　

が成り立つことである。

【証明】

は正項級数なので任意の自然数nに対して。

したがって、とおくと、は単調増加数列。

よって、が上に有界ならば収束し、上に有界でなければ発散する。

（証明終）

 

例

任意の自然数nについて

　　

が成り立つので、定理５より正項級数は収束する。

 

問１　数学的帰納法を用いて、次の不等式を証明せよ。

　　

 

定理６　（比較判定法）

正項級数において、任意の自然数nに対してであるとする。

このとき、

（ⅰ）　が収束すれば、も収束する。

（ⅱ）　が発散すれば、も発散する。

【証明】

とするとであるから、は単調増加数列で、が成り立つ。

よって、ならば、となり、は上に有界な単調増加数列となり収束する。

また、ならば、だから、と発散する。

（証明終）

 

 

問２　次の級数の収束を判定せよ。

【解】

（１）　k≧２のとき、

　　

したがって、

　　

と収束するのでは収束し、も収束する。

 

（２）　任意の自然数nに対して

　　

かつ、は収束するので、も収束する。

 

（３）　任意の自然数nに対して

　　

であり、と発散するので、は発散する。

 

（４）　任意の自然数nに対して

　　

は発散するので、は発散する。

（解答終）

 

なお、上の解答では、と発散することを利用している。