「数値解析勉強中の大学生」さんからいただいた質問への回答

「数値解析勉強中の大学生」さんからいただいた質問への回答

 

 

2)のk2の式で、

　　

となっていますが、何故にはではなくが使われるのかが完全に理解できておらず、ご教授頂きたいです。宜しくお願いいたします。

 

 

　　

に対する、ルンゲ・クッタ法は

　　

ですよね。

 

時刻tを陽に含まない、

　　

の場合――力学系のといいます――は、これに対するルンゲ・クッタ法は

　　

になります。

 

これは、次のようなベクトル表記を用い、そのまま、連立常微分方程式に拡張が可能です。

すなわち、

　　

これに対する、ルンゲ・クッタ法は

　　

これを成分で表すと、

　　

に対するルンゲ・クッタ法は、i=1,2,・・・、nに対して、

　　

となります。

 

そして、

　　

の場合は、

　　

になるでしょう、って話なんですが。

 

いま振り返ると、

　　

ではなく、

　　

とし、これから、偏微分方程式（１）は

　　

という連立常微分方程式に変換――というか近似――できる。

そして、

　　

とおくと、

　　

になり、これにルンゲ・クッタ法を適用すると、

　　

と書いたほうが良かったのかもしれませんね。

 

この話、近似法には、正直、胡散臭いところがいくつかあるもので、この部分の話はあまりしたくない(^^ゞ。

 

それで、質問の

何故にはではなくが使われるのかが完全に理解できておらず、ご教授頂きたいです。

ですが、

時刻t+Δt/2のの変化分（の近似値）はだから、にこれを加えるみたいは話なんですよ。

同様に、 時刻t+Δt/2のの変化分（の近似値）はだから、にこれを加え、

時刻t+Δt/2のの変化分（の近似値）はだから、にこれを加えるといった話です。

 

コメント 1

先日この質問をした者です。
とてもわかりやすい説明を短時間で公開してくださりありがとうございます！nemurinekoさんのお陰で、もやがかっていた部分がスッキリしました。
by 数値解析勉強中の大学生 (2019-12-22 14:28)