お前らに質問（１２月１２日 関数の微分可能性）の解答例

お前らに質問（１２月１２日　関数の微分可能性）の解答例

 

 

問題　f(x)=x³を実数全体の集合Rで定義される関数とするとき、任意のa∈Rに対して

　　

となることを、ε−δ論法を用いて証明せよ。

【解答】

0<δ≦1とし、とすると、

　　

よって、任意のε>0に対して、

　　

に取ると、

　　

（解答終）

 

なお、上の解答で

　　

となっているのは、0<δ≦1⇒δ²≦δだから。

 

また、単に、

任意の正数ε>0に対しδを

　　

とすると、ε>1+3｜a｜のとき、

となってしまうので、0<δ≦1という仮定を満たすために

　　

というお呪（まじな）いを唱える必要がある。

ここで、

　　

 

そして、

　　

は、こっそり、

　　

とおき、これを解いたところから出てくる。

 

「aとbの大きくない方をとる」を意味する、min｛a,b｝という怪しげな記号なんか使いたくないというヒトは、次のように解くといいかもしれない。

 

0<｜x−a｜<δとすると、

　　

とおき、

　　

このδの２次方程式を解く。

　　

δ>0という条件があるので、

　　

をとる。

よって、

任意のε>0に対して、

　　

にすると、

　　

　　

この場合は、幸い、δ²+3｜a｜δ−ε=0という２次方程式になるのでδについて解くことができるけれど、δの３次以上の方程式になると厄介なので、応用しづらいという難点がある。

 

 

発展問題　とするとき、

　　

となることを、ε−δ論法を用いて示せ。

この発展問題の回答が１つもお前らからネムネコのところに届いていないので、この制裁措置――正しくは、ブログ運用の適正化措置(^^)――として、この解答例の公開は保留だケロよ。
正しかろうが間違っていようが、お前らから１つ回答が寄せられたら、解答例の公開を検討するにゃ。