無限級数 [微分積分]
無限級数
数列
が与えられたとき、
とおく。
数列
が収束するとき、級数
は収束するという。
また、
を級数の和といい、
と表す。
すなわち、
任意の正数ε>0に対し、ある自然数Nが存在し、
また、収束しないを発散級数という。
が収束するとき、は絶対収束するという。は収束するが絶対収束しないとき、は条件収束するという。
特に、が等比数列
であるとき、部分和
は
になるので、｜r｜<1のとき
は収束し、それ以外では発散する。
無限級数の定義とコーシーの収束条件から、ただちに、次のことが言える。
定理１ （無限級数の収束に関する必要十分な条件）
級数が収束するための必要条件は、任意のε>0に対し、次の自然数Nが存在することである。
定理２
が収束するならば、
である。
【証明】
が収束するので、定理１より、任意のε>0に対して、ある自然数Nが存在し、
m=n+1とおくと、任意のε>0に対し、
よって、
（証明終）
【別証】
とおくと、
仮定より、は収束するので、とおくと、
（別証終）
定理２の系
ならばは発散する
定理２の逆、つまり、「ならばは収束する」は一般に成り立たない。
たとえば、
であるが
は収束しない。
問１ 
が収束しないことを示せ。
【解】
ε=1/2>0とすると、どのような自然数Nに対しても、m=2n>n≧Nにとると、
よって、は収束しない。
（解答終）
定理３
λ、μを実数とする。
がともに収束するならば、
も収束し、
【証明】
λ=μ=0のときは、明らか。
同時にλ=0、μ=0でないものとする。
は収束するので、任意のε>0に対して、ある自然数Nが存在して
よって、三角不等式から、
（証明終）
問２ 次の無限級数の和を求めよ。
【解】
（１）
｜a｜<1だから、
よって、
したがって、
は収束し、
（２） 
とおくと、
よって、
したがって、
よって、
（３）
したがって、
（解答終）
定理４
が絶対収束すれば、は収束する。
【証明】
が絶対収束する、すなわち、が収束するので、定理１より、任意の正数ε>0に対して、ある自然数Nが存在し、
よって、が絶対収束すれば、は収束する。
（解答終）
問３ は収束するが、絶対収束しない（無限）級数の例を１つあげよ。
2019-12-19 22:00
nice!(2)
コメント(0)
コメント 0