お前らに質問(12月16日 数列の極限)の解答例 [お前らに質問]
お前らに質問(12月16日 数列の極限)の解答例
問題1 数列が収束しないとはどういうことか。その定義を記せ。
【解答例】
を否定すると、
すなわち、
どんな実数値αに対しても、ある実数ε>0が存在し、任意の自然数Nについて、
となる自然数nが(少なくとも1つ)存在する、こと。
(解答例終)
命題「pならばq」の否定は、
「pかつqでない」だから注意するにゃ。
さらに、高校の数学で、
「すべての◯」(∀◯)の否定は「ある◯」(∃◯)、「ある△」(∃△)の否定は「すべての△」(∀△)
って習ったはずだから、この規則にしたがえばいいにゃ。
そうすれば、(1)の否定である(1’)が得られる!!
ちなみに、
数列の極限の定義(1)は、「数列の極限値は、それが存在すれば、ただ1つに限る」とまでは主張していない。「そんなものがあるとすれば、すくなくとも1つはある」としか言っていない。
したがって、極限値が1つに限るということは、定義(1)などから証明すべきことなのであった!!
問題2 、かつ、α>0とするとき、ある自然数Nが存在し、n≧Nである全ての自然数nについて、
であることを示せ。
【解答例】
である。
ε>0は任意なので、にすると、
を満たす自然数Nが存在する。
よって、このとき、
(解答終)
細かいヒトは、
ではなく、「すべての」、「任意の」を表す「全称記号」∀をつけて
としたりするにゃ。
類題 、かつ、α≠0とするとき、ある自然数Nが存在し、n≧Nである全ての自然数nについて、
であることを示せ。
問題3 数列が収束するとき、は有界である、
すなわち、
である実数Mが存在する。
このことを利用して、極限の公式
を証明せよ。
【解答例】
であるとき
だから、
また、とすると、だから、
となり、
次に、少なくとも1つである項が存在するとする。
数列は収束するので有界である。
つまり、
となる実数M>0が存在する。
また、であるから、
任意のε>0に対して、ある自然数N₁、N₂が存在し
が成り立つ。
よって、とすると、
任意のε>0に対して、n≧Nならば
となるので、
したがって、
である。
(解答例終)
(M+|α|)=0だと
となって、
という条件を満たさなくなるので、塩梅が悪いにゃ。
そこで、
そうならないように、
とそうでない場合に分けたケロ。
突っ込まれないようにこう書いたけれど、
を満たす実数Mはの上限、
である必要は必ずしもないから、上の部分は要らな言っちゃ〜要らない。
てなわけで、
こういうことを踏まえて、
「数列は収束するので有界である。
つまり、
となる実数M>0が存在する」
とすればいいんだウサ。
実は、みんなの幸せを願う「ウサギ」のネムネコでした。