お前らに質問（１２月１６日 数列の極限）の解答例

お前らに質問（１２月１６日　数列の極限）の解答例

 

 

問題１　数列が収束しないとはどういうことか。その定義を記せ。

【解答例】

　　

を否定すると、

　　

すなわち、

どんな実数値αに対しても、ある実数ε>0が存在し、任意の自然数Nについて、

　　

となる自然数nが（少なくとも１つ）存在する、こと。

（解答例終）

 

命題「pならばq」の否定は、

　　

「pかつqでない」だから注意するにゃ。

 

さらに、高校の数学で、

「すべての◯」（∀◯）の否定は「ある◯」（∃◯）、「ある△」（∃△）の否定は「すべての△」（∀△）

って習ったはずだから、この規則にしたがえばいいにゃ。

 

そうすれば、（１）の否定である（１’）が得られる！！

 

ちなみに、

数列の極限の定義（１）は、「数列の極限値は、それが存在すれば、ただ１つに限る」とまでは主張していない。「そんなものがあるとすれば、すくなくとも１つはある」としか言っていない。

したがって、極限値が１つに限るということは、定義（１）などから証明すべきことなのであった！！

 

 

問題２　、かつ、α>0とするとき、ある自然数Nが存在し、n≧Nである全ての自然数nについて、

　　

であることを示せ。

【解答例】

だから任意のε>0に対して、ある自然数Nが存在して

　　

である。

ε>0は任意なので、にすると、

　　

を満たす自然数Nが存在する。

よって、このとき、

　　

（解答終）

 

細かいヒトは、

　　

ではなく、「すべての」、「任意の」を表す「全称記号」∀をつけて

　　

としたりするにゃ。

 

類題　、かつ、α≠0とするとき、ある自然数Nが存在し、n≧Nである全ての自然数nについて、

　　

であることを示せ。

 

 

 

問題３　数列が収束するとき、は有界である、

すなわち、

　　

である実数Mが存在する。

このことを利用して、極限の公式

　　

を証明せよ。

【解答例】

であるとき

　　

だから、

　　

また、とすると、だから、

　　

となり、

　　

 

次に、少なくとも１つである項が存在するとする。

数列は収束するので有界である。

つまり、

　　

となる実数M>0が存在する。

また、であるから、

任意のε>0に対して、ある自然数N₁、N₂が存在し

 　　

が成り立つ。

よって、とすると、

任意のε>0に対して、n≧Nならば

　　

となるので、

　　

したがって、

　　

である。

（解答例終）

 

(M+｜α｜)=0だと

　　

となって、

　　

という条件を満たさなくなるので、塩梅が悪いにゃ。

そこで、

そうならないように、

　　

とそうでない場合に分けたケロ。

 

突っ込まれないようにこう書いたけれど、

　　

を満たす実数Mはの上限、

　　

である必要は必ずしもないから、上の部分は要らな言っちゃ〜要らない。

 

てなわけで、

こういうことを踏まえて、

「数列は収束するので有界である。

つまり、

　　

となる実数M>0が存在する」

とすればいいんだウサ。

 

 

実は、みんなの幸せを願う「ウサギ」のネムネコでした。

 

 

 

昨日、１２月１６日にアップした「数列の極限」に、次の定理０を追加したにゃ。

 

定理０　任意の正数ε>0に対して、

　　

ならば、a=0である。

 

ところで、

定理０を、

任意の自然数nに対して、

　　

ならば、a=0である。

に変更すると、アルキメデスの公理と呼ばれるものになる。

 

普通、

アルキメデスの公理といったら、

「a>0、b>0のとき、

　　

となる自然数nが存在する」というバージョンを指しますがね。

 

アルキメデスの公理は、公理だから、これと同等のもの、つまり、別の公理を用意しないと、証明できないんだケロよ。

そもそも、証明できないから、公理という言葉がついている！！

 

だから、ハサミ打ちの定理より

　　

なんてことはできないケロよ。

 

（２）は、数列の極限やハサミ打ちの定理以前の話で、これらの議論の出発点になるものだから、こんな証明は許されないにゃ。