お前らに質問（１２月１６日 数列の極限）

お前らに質問（１２月１６日　数列の極限）

 

 

本日、１２月１６日の数学の記事、数列の極限で、「みんなが大好き」ε−δ論法の一種、ε−N論法をバリバリ使った。

数式はいっぱい出てくるので、So-netブログ名物の１記事１０万字以内というオキテに触れて、記事中の数式を５０近く、画像に変換し、それを記事に貼り付けるという気が遠くなるような作業をやる羽目になってしまった。

これから、ねこ騙し数学で取り扱う内容の前提知識となる内容なので、これを疎かにはできないにゃ。

 

というわけで、お前らには、数列の極限に関する問題をいくつかといてもらうことにするにゃ。

 

問題１　数列が収束しないとはどういうことか。その定義を記せ。

 

と、いきなり質問しても、質問が曖昧すぎて答えられないかもしれないので、数列の収束に関する定義を記すにゃ。

 

ある実数αが存在し、任意の正数ε>0に対して、ある自然数Nが存在し、n≧Nを満たすすべての自然数nについて、

　　

であるとき、数列はαに収束するといい、また、αをの極限値という。

 

実数全体の集合を、自然数全体の集合をとすると、

　　

といった感じになりますか。

 

（１）が数列の収束の定義なのだから、これを否定すれば、収束しないの定義になるわな。

そして、それを日常事は著しく異なる数学語に翻訳すればよい。

翻訳した数学語を、自然な日本語――英語であろうが同じだが――に直そうとすると、意味が変わることが往々にして生じるので、やめたほうがいいケロよ。

日本語としてどんなに不自然であろうと、翻訳数学語に慣れるしかない！！

 

ところで、

「ある自然数Nがあって、どんな自然数nに対しても、N≧nである」

と

「どんな自然数nに対しても、ある自然数Nがあって、N≧nである」

は同じ意味ですか？

怪しげな記号を使うと、

　　

と

　　

とかになりますか。

違うとすれば、命題P１とP2のどちらが真の命題か、あるいは、どちらも真、ともに偽か、について考えるといいにゃ。

 

 

問題２　、かつ、α>0とするとき、ある自然数Nが存在し、n≧Nである全ての自然数nについて、

　　

であることを示せ。

 

この極限値がαたとえ無量大数分の１という限りなく０に近い数であろうと、その極限値がα>0でありさえすれば、上のことは必ず成り立つ。

 

 

問題３　数列が収束するとき、は有界である、

すなわち、

　　

である実数Mが存在する。

このことを利用して、極限の公式

　　

を証明せよ。

 

ノーヒントじゃ辛いかもしれないので、心優しいネムネコはヒントを出してやるにゃ。

 

【ヒント】

とし、次のように変形せよ。

　　

 

 

もう答を教えたようなものだけれど…。