絶対収束と条件収束

絶対収束と条件収束

 

 

が収束するとき、は絶対収束するという。は収束するが、絶対収束しないとき、は条件収束するという。

 

例１　正項級数が収束するとき、なのでが成立し、したがって、正項級数は絶対収束する。

 

定理４

が収束するならば、も収束する。

 

 

例２　が収束し、

　　

も収束するので、は絶対収束。

 

例３　は収束する（例４参照）が、

　　

は収束しないので、は条件収束。

 

問１　次の級数の収束・発散を調べよ。

　　

【解】

すべての自然数nについて、

　　

は収束するのでは収束する。

したがって、は収束する。

（解答終）

 

問２　次のことを示せ。

（１）　を満たす定数0<c<1とM>0が存在すれば、は収束する。

（２）　を満たす定数M>0が存在すればは発散する。

【解】

（１）　仮定より、任意の自然数nに対して

　　

よって、任意の自然数nに対しては上に有界で、は収束する。

したがって、は収束する。

 

（２）　が収束するとすると、。しかし、仮定より、任意の自然数nに対してだから、となり矛盾。よって、は発散する。

（解答終）

 

 

とするとき、

　　

を交代級数という。

 

交代級数の収束については、次のライプニッツの定理がある。

 

定理１１　（ライプニッツの定理）

は単調減少数列で、かつ、ならば、交代級数は収束する。

【証明】

条件より

　　

である。

　　

とおくと、だから、

　　

したがって、は上に有界。

また、

　　

よって、は単調増加数列で上に有界。

ゆえに、は収束する。

とおくと、

　　

よって、。

したがって、交代級数は収束する。

（解答終）

 

 

例４　数列は単調減少で、かつ、だから、交代級数は収束する。